1.2. Полный и главный символы

Символом или полным символом оператора А порядка называется функция

а главным символом — функция

Символ принадлежит , т.е. является многочленом от с коэффициентами из кольца , а полный символ — однородным многочленом от степени с коэффициентами из .

Примеры.

1. Оператор Лапласа имеет совпадающие полный и главный символы

2. Оператор теплопроводности имеет полный символ , а его главный символ равен

3. Волновой оператор имеет совпадающие полный и главный символы

4. Оператор Штурма-Лиувилля имеет полный символ , а главный символ .

Символ оператора А восстанавливается по оператору формулой

в которой оператор А применяется по . Здесь использовано обозначение . Формула (1.5) получается из соотношения

легко проверяемого индукцией по . Из (1.5) следует также, что однозначно определены коэффициенты оператора А (коэффициенты многочлена ) при каждом фиксированном однозначно определены этим многочленом как функцией от

Полезно применить оператор А к более общей экспоненте, чем — к экспоненте , где — параметр. Имеет место

Лемма 1.1. Если лвляетсл многочленом от А степени с коэффициентами из причём

т. е. старший коэффициент этого многочлена (при ) равен где — вектор градиента .

Доказательство. Имеем

откуда утверждение леммы получается для операторов порядка 1. В дальнейшем при нахождении произвольных также придется дифференцировать произведения вида где . При этом новый множитель А появляется лишь при дифференцировании экспоненты. Поэтому ясно, что

откуда и следует утверждение леммы.

Следствие 1.2. Пусть А, В — два линейных дифференциальных оператора в — их порядки, — главные символы. Далее, пусть — композиция этих операторов, — её главный символ. Тогда

Замечание. Очевидно, что С — дифференциальный оператор порядка

Доказательство следствия 1.2. Имеем:

Отсюда по лемме 1.1

для любой функции . Но тогда выбирая мы получим и (1.8) переходит в

что и требовалось.