откуда утверждение леммы получается для операторов порядка 1. В дальнейшем при нахождении произвольных
также придется дифференцировать произведения вида
где
. При этом новый множитель А появляется лишь при дифференцировании экспоненты. Поэтому ясно, что
откуда и следует утверждение леммы.
Следствие 1.2. Пусть А, В — два линейных дифференциальных оператора в
— их порядки,
— главные символы. Далее, пусть
— композиция этих операторов,
— её главный символ. Тогда
Замечание. Очевидно, что С — дифференциальный оператор порядка
Доказательство следствия 1.2. Имеем:
Отсюда по лемме 1.1
для любой функции
. Но тогда выбирая
мы получим
и (1.8) переходит в
что и требовалось.