1.7. Общее решение однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами при n = 2
Как следует из изложенного в предыдущем пункте, гиперболическое уравнение
где
, приводится заменой переменных
, где
— корни квадратного уравнения
, к виду
Предполагая, что
, где
— выпуклая область в
, мы получаем, что
откуда
и далее
где
— произвольные функции класса
. В переменных х, у имеем тогда
Полезно рассматривать функции
вида (1.32), где
не обязательно класса
, а из более широкого класса функций (например,
, т.е.
локально интегрируемы). Такие функции и называются обобщёнными решениями уравнения (1.29). Пусть, например,
имеет разрыв
рода в точке
Тогда
будет иметь разрыв вдоль прямой
.
Отметим, что линии
являются характеристиками. Таким образом, разрывы решений в этом случае распространяются вдоль характеристик. Так обстоит дело и для общих гиперболических уравнений.
Пример. Волновое уравнение
имеет характеристики
. Общее решение этого уравнения записывается в виде
Заметим, что
— волна, бегущая вправо со скоростью а,
— волна, бегущая влево со скоростью а. Общее решение есть сумма или, как говорят, суперпозиция (наложение) двух таких волн.
Задачи
1-1. Привести к каноническому виду уравнения:
1-2. Привести к каноническому виду уравнения:
1-3. Найти общее решение уравнений: