1.7. Общее решение однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами при n = 2
Как следует из изложенного в предыдущем пункте, гиперболическое уравнение
где 
, приводится заменой переменных 
, где 
— корни квадратного уравнения 
, к виду
Предполагая, что 
, где 
— выпуклая область в 
, мы получаем, что
откуда 
и далее
где 
— произвольные функции класса 
. В переменных х, у имеем тогда
Полезно рассматривать функции 
вида (1.32), где 
не обязательно класса 
, а из более широкого класса функций (например, 
, т.е. 
локально интегрируемы). Такие функции и называются обобщёнными решениями уравнения (1.29). Пусть, например, 
имеет разрыв 
рода в точке 
Тогда 
будет иметь разрыв вдоль прямой 
.
Отметим, что линии 
являются характеристиками. Таким образом, разрывы решений в этом случае распространяются вдоль характеристик. Так обстоит дело и для общих гиперболических уравнений.
Пример. Волновое уравнение 
имеет характеристики 
. Общее решение этого уравнения записывается в виде
Заметим, что 
— волна, бегущая вправо со скоростью а, 
— волна, бегущая влево со скоростью а. Общее решение есть сумма или, как говорят, суперпозиция (наложение) двух таких волн.
Задачи
1-1. Привести к каноническому виду уравнения:
1-2. Привести к каноническому виду уравнения:
1-3. Найти общее решение уравнений:
