1.6. Характеристики и приведение к каноническому виду операторов и уравнении 2-го порядка при n = 2
При n = 2 характеристики являются линиями и находятся особенно просто. Рассмотрим, например, оператор 2-го порядка
где
— гладкие функции от х, у, определённые в некоторой области
с
, а многоточие означает члены, содержащие лишь производные первого порядка. Пусть
— линия в
— её касательный вектор,
— вектор нормали. Линия является характеристикой тогда и только тогда, когда вдоль неё
Если
, то в окрестности точки
мы можем считать, что
и что
является параметром вдоль характеристики
. Тогда уравнение характеристики приобретает вид
Если
, то оператор (1.18) называется гиперболическим и имеет 2 семейства вещественных характеристик, находимых из обыкновенных дифференциальных уравнений
Отметим, что через каждую точку
в этом случае проходят две некасающиеся характеристики. Запишем эти семейства характеристик в виде
, где
. Таким образом,
являются первыми интегралами уравнений (1.20) и (1.20) соответственно. Будем считать, что
. Тогда
линейно независимы, так как характеристики из разных семейств не касаются. Введём новые координаты
. В них характеристиками будут линии
, но тогда коэффициенты при
тождественно обратятся в 0, так что оператор А примет вид
называемый каноническим. Здесь
(вспомним, что мы предполагали
). Аналогично делается приведение к каноническому виду (1.21) в случае, когда
. Вообще не обязательно отдельно рассматривать эти два случая, так как использовалось лишь существование интегралов
с описанными свойствами. Эти интегралы можно найти и в случае обращения в 0 коэффициентов а и с (в одной точке или в области). Этот случай можно, например, свести к одному из предыдущих поворотом координатных осей (если
).
Часто рассматривают дифференциальные уравнения вида
где
— известная функция, А — линейный дифференциальный оператор,
— неизвестная функция. Если А — гиперболический оператор
порядка с двумя независимыми переменными (т. е. оператор вида (1.18), где
то после введения описанных выше координат
) и деления на
уравнение (1.22) (которое в этом случае тоже называется гиперболическим) приводится к каноническому виду
где многоточие означает члены, не содержащие 2-х производных от u.
Пусть теперь
(тогда оператор (1.18) и уравнение (1.22) с этим оператором называются параболическими). Будем считать, что
.
Тогда для характеристик получается дифференциальное уравнение
Найдем характеристики и запишем их в виде
, где
— первый интеграл (1.24), причём
. Выберем такую функцию
что
и
линейно независимы, и введём новые координаты
. В новых координатах оператор А не будет иметь члена
поскольку линии
являются характеристиками. Но тогда член с
также исчезнет, поскольку главный символ должен быть квадратичной формой ранга 1. Итак, получаем канонический вид параболического оператора
Для параболического уравнения (1.22) канонический вид будет
Заметим, что если
причём
то а и с не могут одновременно обратиться в 0, поскольку тогда будет и
Поэтому всегда либо
либо
и описанная процедура всегда применима.
Рассмотрим, наконец, случай
, т.е. оператор (1.18) является эллиптическим; уравнение (1.22) в этом случае тоже называется эллиптическим. Предположим для простоты, что функции а, b, с являются вещественно-аналитическими. Тогда из теоремы существования голоморфных решений комплексного уравнения
можно вывести существование локального первого интеграла
где
— вещественнозначные аналитические функции,
линейно независимы. Можно проверить, что после введения новых координат
оператор А приводится к каноническому виду
где
. Уравнение (1.22) в этом случае делением на р можно привести к виду