1.6. Характеристики и приведение к каноническому виду операторов и уравнении 2-го порядка при n = 2

При n = 2 характеристики являются линиями и находятся особенно просто. Рассмотрим, например, оператор 2-го порядка

где — гладкие функции от х, у, определённые в некоторой области с , а многоточие означает члены, содержащие лишь производные первого порядка. Пусть — линия в — её касательный вектор, — вектор нормали. Линия является характеристикой тогда и только тогда, когда вдоль неё

Если , то в окрестности точки мы можем считать, что и что является параметром вдоль характеристики . Тогда уравнение характеристики приобретает вид

Если , то оператор (1.18) называется гиперболическим и имеет 2 семейства вещественных характеристик, находимых из обыкновенных дифференциальных уравнений

Отметим, что через каждую точку в этом случае проходят две некасающиеся характеристики. Запишем эти семейства характеристик в виде , где . Таким образом, являются первыми интегралами уравнений (1.20) и (1.20) соответственно. Будем считать, что . Тогда линейно независимы, так как характеристики из разных семейств не касаются. Введём новые координаты . В них характеристиками будут линии , но тогда коэффициенты при тождественно обратятся в 0, так что оператор А примет вид

называемый каноническим. Здесь (вспомним, что мы предполагали ). Аналогично делается приведение к каноническому виду (1.21) в случае, когда . Вообще не обязательно отдельно рассматривать эти два случая, так как использовалось лишь существование интегралов с описанными свойствами. Эти интегралы можно найти и в случае обращения в 0 коэффициентов а и с (в одной точке или в области). Этот случай можно, например, свести к одному из предыдущих поворотом координатных осей (если ).

Часто рассматривают дифференциальные уравнения вида

где — известная функция, А — линейный дифференциальный оператор, — неизвестная функция. Если А — гиперболический оператор порядка с двумя независимыми переменными (т. е. оператор вида (1.18), где то после введения описанных выше координат ) и деления на уравнение (1.22) (которое в этом случае тоже называется гиперболическим) приводится к каноническому виду

где многоточие означает члены, не содержащие 2-х производных от u.

Пусть теперь (тогда оператор (1.18) и уравнение (1.22) с этим оператором называются параболическими). Будем считать, что .

Тогда для характеристик получается дифференциальное уравнение

Найдем характеристики и запишем их в виде , где — первый интеграл (1.24), причём . Выберем такую функцию что и линейно независимы, и введём новые координаты . В новых координатах оператор А не будет иметь члена поскольку линии являются характеристиками. Но тогда член с также исчезнет, поскольку главный символ должен быть квадратичной формой ранга 1. Итак, получаем канонический вид параболического оператора

Для параболического уравнения (1.22) канонический вид будет

Заметим, что если причём то а и с не могут одновременно обратиться в 0, поскольку тогда будет и Поэтому всегда либо либо и описанная процедура всегда применима.

Рассмотрим, наконец, случай , т.е. оператор (1.18) является эллиптическим; уравнение (1.22) в этом случае тоже называется эллиптическим. Предположим для простоты, что функции а, b, с являются вещественно-аналитическими. Тогда из теоремы существования голоморфных решений комплексного уравнения

можно вывести существование локального первого интеграла

где — вещественнозначные аналитические функции, линейно независимы. Можно проверить, что после введения новых координат оператор А приводится к каноническому виду

где . Уравнение (1.22) в этом случае делением на р можно привести к виду