§ 1. Линейные дифференциальные операторы
1.1. Определение и примеры
Введём обозначения, удобные при использовании функций нескольких переменных и дифференциальных операторов. Мультииндексом а называется набор
где
(т.е.
— неотрицательные целые числа). Если а — мультииндекс, то мы положим
а если дан ещё вектор
, то
. Если
— открытое подмножество в
, то через
будем обозначать множество комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций в
, а через
— множество финитных бесконечно дифференцируемых функций в
, т. е. таких
, что существует компакт
, вне которого функция
обращается в 0 (компакт К зависит от функции
). Положим
где
Таким образом
— оператор смешанной производной,
.
Если
, то мы вместо
будем также иногда писать
.
Упражнение 1.1. Пусть
, т.е.
— многочлен от n переменных
. Доказать формулу Тейлора
где суммирование ведётся по всем мультииндексам а (на самом деле сумма конечна).
Линейный дифференциальный оператор — это оператор
вида