§ 1. Линейные дифференциальные операторы

1.1. Определение и примеры

Введём обозначения, удобные при использовании функций нескольких переменных и дифференциальных операторов. Мультииндексом а называется набор где (т.е. — неотрицательные целые числа). Если а — мультииндекс, то мы положим а если дан ещё вектор , то . Если — открытое подмножество в , то через будем обозначать множество комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций в , а через — множество финитных бесконечно дифференцируемых функций в , т. е. таких , что существует компакт , вне которого функция обращается в 0 (компакт К зависит от функции ). Положим

где

Таким образом — оператор смешанной производной, .

Если , то мы вместо будем также иногда писать .

Упражнение 1.1. Пусть , т.е. — многочлен от n переменных . Доказать формулу Тейлора

где суммирование ведётся по всем мультииндексам а (на самом деле сумма конечна).

Линейный дифференциальный оператор — это оператор

вида

где . Конечно, вместо можно написать , но запись через удобнее, как будет видно из дальнейшего. Здесь и мы будем говорить, что А — оператор порядка . Будем говорить, что А — оператор порядка , если он записывается в виде (1.2) и существует такой мультииндекс а, что

Примеры.

1. Оператор Лапласа

2. Оператор теплопроводности — (здесь число переменных равно и они обозначаются ).

3. Волновой оператор или даламбертиан

4. Оператор Штурма-Лиувилля, определяемый формулой

где

Операторы примеров — это операторы с постоянными коэффициентами, оператор Штурма-Лиувилля имеет переменные коэффициенты.