Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Одномерное волновое уравнение2.1. Уравнение колебании струныМы приведём здесь вывод уравнения малых колебаний струны. Отметим сразу, что этот вывод не является математическим, а относится к физике или механике, однако понимание его существенно для осознания физического смысла, во-первых, самого волнового уравнения, во-вторых, что не менее существенно, начальных и граничных условий. Знание вывода и физического смысла помогает также нахождению различных математических приёмов исследования уравнения (интеграл энергии, стоячие волны и т. д.). Таким образом, выводы уравнений, отвечающих различным физическим и механическим задачам, важны для понимания математической физики и по существу являются её частью. Итак, займемся выводом уравнения малых колебаний струны. Речь идёт о поперечных колебаниях натянутой струны. При этом мы считаем, что всеми силами, возникающими в струне, можно пренебречь по сравнению с натяжением, направленным вдоль струны (в частности, будем считать струну абсолютно гибкой, т. е. не сопротивляющейся изгибу). Прежде всего, выберем переменные, описывающие поведение струны. Пусть в положении равновесия натянутая струна расположена вдоль оси х.
Рис. 1 Вначале мы будем рассматривать внутренние точки струны, не обращая внимания на концы. Будем считать колебания происходящими в плоскости (x, у), причём каждая точка струны смещается лишь параллельно оси у и это смещение в момент времени t обозначается
Наше основное предположение состоит в том, что удлинением струны можно пренебречь. Более точно, будем считать, что
Рис. 2 Напишем уравнения движения указанного участка струны (см. рис. 2). Поскольку движение происходит в вертикальном направлении (по оси у), то горизонтальные силы, действующие на этот участок, должны быть в сумме равны нулю. Это означает, что
если считать, что нет внешних сил. При наличии же внешних сил с плотностью
Вертикальная составляющая импульса участка струны равна
Теперь воспользуемся известным следствием динамического уравнения Ньютона, состоящим в том, что скорость изменения импульса пропорциональна сумме внешних сил. Тогда из (2.2)-(2.4) получим
что ввиду произвольности а и b означает
В частности, при
где К тому же уравнению (2.6) мы пришли бы, если бы воспользовались принципом Даламбера, приравняв нулю сумму всех внешних сил и сил инерции. Другим способом к (2.5) можно прийти через уравнения Лагранжа. Предположим, что внешние силы отсутствуют. Ясно, что кинетическая энергия участка
Для вычисления потенциальной энергии струны, имеющей форму графика функции
Перемещение же точки с координатой
Поэтому для перемещения от а до
Интегрируя по
Интегрируя по частям, получаем
и теперь, интегрируя по а от 0 до 1, получаем:
Предположим, что концы струны находятся в точках 0 и I и что они закреплены, т. е. их перемещения равны 0 в процессе всего движения. Тогда можно считать, что
Отсюда ясно, что потенциальная энергия струны с закрепленными концами
Мы можем написать теперь лагранжиан струны
являющийся функционалом от
откуда ввиду произвольности
т. е. мы снова пришли к уравнению (2.5) Отметим здесь то важное обстоятельство, что полная энергия струны равна
Имеет место закон сохранения энергии Н: Энергия сохраняется при колебаниях струны с закреплёнными концами. Проверим это, используя уравнение (2.11). Имеем:
Интегрируя по частям во втором интеграле, мы получим
Последнее слагаемое в (2.13) обращается в 0 в силу граничных условий и Из закона сохранения энергии вытекает единственность решения уравнения струны (2.5) при условии, что всюду
и фиксированы начальные условия (положение и скорость струны):
В самом деле, если
Но тогда из закона сохранения энергии для v вытекает, что
откуда В заключение заметим, что вывод уравнения струны можно было, конечно, провести и без упрощающего предположения их 1. В результате получилось бы нелинейное уравнение, исследование которого вряд ли можно провести простыми средствами. Уравнение же (2.5) получат ется как линеаризация (главная линейная часть) указанного нелинейного уравнения. По свойствам его решений можно судить и о поведении решений нелинейного уравнения. Заметим, однако, что при больших деформациях и указанное нелинейное уравнение вряд ли будет адекватно физической задаче, поскольку может возникнуть сопротивление изгибу и другие неучтённые эффекты.
|
1 |
Оглавление
|