§ 2. Одномерное волновое уравнение

2.1. Уравнение колебании струны

Мы приведём здесь вывод уравнения малых колебаний струны. Отметим сразу, что этот вывод не является математическим, а относится к физике или механике, однако понимание его существенно для осознания физического смысла, во-первых, самого волнового уравнения, во-вторых, что не менее существенно, начальных и граничных условий. Знание вывода и физического смысла помогает также нахождению различных математических приёмов исследования уравнения (интеграл энергии, стоячие волны и т. д.). Таким образом, выводы уравнений, отвечающих различным физическим и механическим задачам, важны для понимания математической физики и по существу являются её частью.

Итак, займемся выводом уравнения малых колебаний струны. Речь идёт о поперечных колебаниях натянутой струны. При этом мы считаем, что всеми силами, возникающими в струне, можно пренебречь по сравнению с натяжением, направленным вдоль струны (в частности, будем считать струну абсолютно гибкой, т. е. не сопротивляющейся изгибу).

Прежде всего, выберем переменные, описывающие поведение струны. Пусть в положении равновесия натянутая струна расположена вдоль оси х.

Рис. 1

Вначале мы будем рассматривать внутренние точки струны, не обращая внимания на концы. Будем считать колебания происходящими в плоскости (x, у), причём каждая точка струны смещается лишь параллельно оси у и это смещение в момент времени t обозначается (см. рис. 1). Таким образом, если фиксировать t, то график как функции от представляет собой форму струны в момент времени t, а при фиксированном функция описывает движение одной точки струны. Вычислим длину участка струны, соответствующего интервалу на оси х. Эта длина равна

Наше основное предположение состоит в том, что удлинением струны можно пренебречь.

Более точно, будем считать, что и пренебрегать по сравнению с 1. Заметим, что если — угол между касательной к струне и осью то При наших предположениях нужно считать, что их. Если — натяжение струны, то его горизонтальная составляющая равна , а вертикальная — .

Рис. 2

Напишем уравнения движения указанного участка струны (см. рис. 2). Поскольку движение происходит в вертикальном направлении (по оси у), то горизонтальные силы, действующие на этот участок, должны быть в сумме равны нулю. Это означает, что что ввиду произвольности а и b даёт: . Пусть теперь — линейная плотность струны в точке х (отношение массы бесконечно малого участка струны в точке х к длине этого участка). Вертикальная сила, действующая на участок струны, равна

если считать, что нет внешних сил. При наличии же внешних сил с плотностью (на единицу массы струны), к (2.2) надо добавить ещё

Вертикальная составляющая импульса участка струны равна

Теперь воспользуемся известным следствием динамического уравнения Ньютона, состоящим в том, что скорость изменения импульса пропорциональна сумме внешних сил.

Тогда из (2.2)-(2.4) получим

что ввиду произвольности а и b означает

В частности, при и при мы получаем

где .

К тому же уравнению (2.6) мы пришли бы, если бы воспользовались принципом Даламбера, приравняв нулю сумму всех внешних сил и сил инерции.

Другим способом к (2.5) можно прийти через уравнения Лагранжа. Предположим, что внешние силы отсутствуют. Ясно, что кинетическая энергия участка равна

Для вычисления потенциальной энергии струны, имеющей форму графика функции , нужно вычислить работу, необходимую для перевода струны из положения равновесия в положение Пусть это перемещение задаётся «кривой» , причём кусок струны, соответствующий интервалу на оси действует сила

Перемещение же точки с координатой когда а меняется , равно

Поэтому для перемещения от а до над куском струны надо совершить работу

Интегрируя по и по а, мы видим, что полная работа, совершаемая над куском равна

Интегрируя по частям, получаем

и теперь, интегрируя по а от 0 до 1, получаем:

Предположим, что концы струны находятся в точках 0 и I и что они закреплены, т. е. их перемещения равны 0 в процессе всего движения. Тогда можно считать, что , а и вместо (2.8) при можно написать

Отсюда ясно, что потенциальная энергия струны с закрепленными концами в момент t даётся формулой

Мы можем написать теперь лагранжиан струны

являющийся функционалом от и играет здесь роль набора координат в момент — роль набора скоростей). Напишем действие и приравняем к 0 вариацию действия по . Производя обычное интегрирование по частям и считая, что мы получим:

откуда ввиду произвольности следует, что

т. е. мы снова пришли к уравнению (2.5) .

Отметим здесь то важное обстоятельство, что полная энергия струны равна

Имеет место закон сохранения энергии Н:

Энергия сохраняется при колебаниях струны с закреплёнными концами.

Проверим это, используя уравнение (2.11). Имеем:

Интегрируя по частям во втором интеграле, мы получим

Последнее слагаемое в (2.13) обращается в 0 в силу граничных условий и поскольку тогда и аналогично . Первое слагаемое обращается в 0 в силу уравнения (2.11). Итак , что и даёт закон сохранения энергии .

Из закона сохранения энергии вытекает единственность решения уравнения струны (2.5) при условии, что всюду задано движение концов:

и фиксированы начальные условия (положение и скорость струны):

В самом деле, если — два решения уравнения (2.5) при условиях (2.14) и (2.15), то их разность удовлетворяет однородному уравнению (2.11) и однородным граничным и начальным условия

Но тогда из закона сохранения энергии для v вытекает, что

откуда т.е. . В силу (2.17) мы имеем теперь т.е. что и требовалось.

В заключение заметим, что вывод уравнения струны можно было, конечно, провести и без упрощающего предположения их 1. В результате получилось бы нелинейное уравнение, исследование которого вряд ли можно провести простыми средствами. Уравнение же (2.5) получат ется как линеаризация (главная линейная часть) указанного нелинейного уравнения. По свойствам его решений можно судить и о поведении решений нелинейного уравнения. Заметим, однако, что при больших деформациях и указанное нелинейное уравнение вряд ли будет адекватно физической задаче, поскольку может возникнуть сопротивление изгибу и другие неучтённые эффекты.