Ответы и указания

1-1. a) ;

Замена переменных:

(Имейте в виду, что замена переменных, приводящая уравнение к каноническому виду, неединственна; выше приведена одна из возможных замен, в то время как существуют и другие, столь же правильные.)

1-3. а) — произвольные функции одной независимой переменной.

(Здесь и в п. б) вид общего решения не является единственным.)

Указание. Замена переменных

сводит уравнение к виду , т.е. , откуда

б) — произвольные функции одной независимой переменной.

Указание. Замена переменных

приводит уравнение к виду , откуда .

Указание. Написать уравнение закона Ньютона для движения колечка.

Указание. См. указание к п. а).

б),в) Пусть .

Тогда в случае б) и в случае в). — работа силы трения.)

2-3. или где . Здесь — продольное перемещение точки, которая в равновесии имеет координату — объёмная плотность материала стержня, Е — модуль Юнга, входящий в выражение силы, возникающей в деформированном материале, по формуле F = ES (закон

Гука), S — поперечное сечение, где измеряется сила, — деформация маленького кусочка материала стержня вокруг точки измерения

( часто называется относительным удлинением, здесь l — длина рассматриваемого кусочка в положении равновесия, а — приращение этой длины, вызванное приложенными силами).

Указание. Показать, что относительное удлинение стержня в точке, имеющей координату в положении равновесия, равно так что сила действует на левую часть стержня в соответствующем поперечном сечении. Рассмотрите движение части стержня, напишите уравнение закона Ньютона для этой части и возьмите предел при

Здесь k — коэффициент упругости пружины, т. е. сила порожденная удлинением пружины на единицу длины.

2-7. , где — площадь поперечного сечения стержня в точке, имеющей координату в положении равновесия (ось направлена вдоль оси стержня).

2-9. (возможно при всех ).

Указание. Используя результат задачи 2-8, доказать что для и затем обратить направление временной переменной.

2-10. См. рис. 11.

2-11.

Указание. Решение имеет начальные условия Коши

2-12.

2-13. См. рис. 12.

2-14. См. рис. 13.

Рис. 11

Указание. Используйте формулу , где . Графики функций нарисованы на рис. 13 пунктиром.

2-15.

Указание. См. указание к задаче 2-9.

2-16. Отраженная волна имеет вид

в тех же обозначениях, что в ответе к задаче 2-3.

2-17. Слева с частотой

Справа , с частотой .

2-18. Стоячие волны имеют вид

(см. скан)

Рис. 12

(см. скан)

Рис. 13

Рис. 14

Графики первых функций нарисованы на рис. 14. 2-19. Граничные условия: . Стоячие волны: , где — такие решения уравнения

что . Система ортогональна в и каждая функция является собственной функцией оператора с граничными условиями . Соответствующее собственное значение равно , а его коротковолновая асимптотика имеет вид

2-20. а) Резонансные частоты: условие резонанса: при некотором k. Если , то

Если при некотором k, то

Указание. Искать частное решение в виде так что выполнены граничные условия (но не начальные условия), затем найти методом Фурье в случае . В случае резонанса перейти к пределу в нерезонансной формуле для и при

б) Резонансные частоты: . Условие резонанса: при некотором к. Если и k, то

Если при некотором k, то

Указание. См. указание к п. а).

2-21. а) Резонансные частоты: условие резонанса: при некотором к. Если , то

Если при некотором к, то

Указание. См. указание к 2-20 а).

б) Резонансные частоты: . Условие резонанса: при некотором к. Если , то

Если при некотором k, то

Указание. См. указание к 2-20 а).

в) Резонансные частоты имеют вид , где такие же, как в ответе . Условие резонанса: при некотором р.

Если , то обозначая имеем

Если при некотором p, то

Указание. См. указание к 2-20 а).

3-2. Указание. Значения k, удовлетворяющие можно найти с помощью теоремы о неявной функции вблизи к, для которого . Дифференцирование по к интегрального уравнения задачи 3-1 приводит к интегральному уравнению для дающему информацию, необходимую для применения теоремы о неявной функции.

Физическая интерпретация: — форма струны, оттянутой в точке точечной вертикальной силой где Т — сила натяжения струны.

Физическая интерпретация: — форма струны, оттянутой в точке точечной вертикальной силой имеющей свободные концы (концы, которые могут свободно двигаться в вертикальном направлении) и подвергнутой действию упругой возвращающей равномерно распределенной силы (см. рис. 15, где возвращающая сила реализована маленькими пружинками, присоединенными к точкам струны и к массивному неподвижному телу).

Рис. 15

3-6. Указание. Решение уравнения имеет не более одного нуля.

3-7. Указание. Использовать неравенство взять с -образным семейством

Указание. Использовать разложение

которое можно получить, например, как разложение функции по ортонормированной системе

Указание. Это — равенство Парсеваля для ортогонального разложения относительно системы

В частном случае на с граничными условиями мы имеем и, принимая во внимание ответ к задаче 3-3, мы получаем

4-4. Указание. при при

4-6. Указание. Написать явные формулы для отображения и обратного к нему.

4-7. Указание. Использовать непрерывность обобщенной функции из по отношению к одной из полунорм в

4-8. Указание. Использовать соображения двойственности.

4-10. Указание. Умножить предыдущую формулу на и проинтегрировать.

Указание. Использовать сферическую симметрию и взять .

Указание. Использовать ответ к б).

Указание. Это должно быть сферически симметричное фундаментальное решение оператора .

Указание. Учитывая сферическую симметрию, взять . Использовать регуляризацию умножением на . Вычислить возникающий одномерный интеграл с помощью вычетов.

Указание. Вычислить ( - как в б) и перейти к пределу при .

Время релаксации , где — коэффициент теплопроводности, с — удельная теплоёмкость (на единицу массы и единицу температуры), р — плотность (масса на единицу объёма), l — длина стержня.

Указание. Первый член в написанной выше сумме намного больше остальных по истечении времени, сравнимого с «временем релаксации».

Здесь I — сила тока, R — электрическое сопротивление стержня, V — объём стрежня, k — коэффициент теплопроводности,

Указание. Уравнение, описывающее процесс, имеет вид

Указание. Рассмотреть интеграл Пуассона, дающий явную формулу для

Указание. Метод Фурье в полярных координатах дает

Указание. Найти частное решение уравнения и затем искать .

7-5. В полярных координатах

Указание. Метод Фурье в полярных координатах дает

7-6. Ответ на последний вопрос:

Указание. Общая схема такова. Шаг 1. Свести задачу к случаю

вычитая функцию вида .

Шаг 2. Искать в виде , где удовлетворяют уравнениям и, кроме того, удовлетворяет граничным условиям Дирихле с и теми же , что и для и, удовлетворяет граничным условиям Дирихле с и теми же , что и для u. Тогда

1-1. Указание. Если , то и

Второе слагаемое должно обращаться в 0 почти всюду, если мы хотим, чтобы функция и была ограничена. Поэтому и

Поменять порядок интегрирований.

7-8. или .

7-9.Нет.

Указание. Использовать неравенство Фридрихса.

8-1. Физическая интерпретация: — взятый в точке потенциал единичного точечного заряда, помещённого в точке внутри проводящей заряженной поверхности

8-2. Та же, что и , где — фундаментальное решение оператора .

8-3. Указание. Использовать, что оператор самосопряжён. 8-4. Указание. Использовать формулу Грина (4.52) с (считая у параметром) и заменив на , где

Затем перейти к пределу при

при n 3, где для -Указание. Искать формулу Грина в виде

где и — постоянная. 8-6.

Указание. Использовать формулу из задачи 8-4. 8-7. Возьмём круг или шар . Тогда

где — точка, полученная из у инверсиеи относительно окружности (сферы) .

Указание. Если , то искать в виде

Если искать в виде , где (в обоих случаях) . Показать геометрически, что если , то не зависит от . Здесь круг (или шар) взят в виде

Указание. Использовать формулу из задачи 8-4. Учесть при вычислении , что при

8-9. Для полушара ответ имеет вид

где — функция Грина шара для .

Указание. где .

8-11. Указание. Использовать, что имеет простые полюса при .

8-12. Указание. Использовать формулу Лиувилля для вронскиана двух линейно независимых решений уравнения Бесселя.

8-13. Указание. Разложить левую часть в степенной ряд по t и и использовать разложение из задачи 8-11.

8-14. Указание. Взять в формуле задачи 8-13 и использовать результат задачи 8-11.

8-15. Для области собственные функции имеют вид а собственные значения равны

8-16. Указание. Использовать тот факт, что функции при различных являются собственными функциями одного и того же оператора

(на пространстве функций, обращающихся в 0 при Этот оператор симметричен в пространстве состоящем из функций на (0, 1), имеющих интегрируемый квадрат по мере

8-17. Для круга в полярных координатах искомая система имеет вид

( определены в задаче )

Указание. Записать А в полярных координатах и разложить собственную функцию в ряд Фурье . Тогда каждый член будет собственной функцией и удовлетворяет уравнению Бесселя. Используя регулярность в 0, показать, что .

8-18. Указание. Для цилиндра свести задачу к случаю затем разложить и по собственным функциям оператора в имеющим вид

9-1. . (Здесь ось цилиндра — прямая ).

9-2. См. рис. 16.

Указание. Ввести новую неизвестную функцию вместо u. (Здесь ) Тогда , где — нечётное продолжение функции на К.

9-3. См. рис. 17.

Указание. Ввести новую неизвестную функцию . Тогда

где — нечётное продолжение функции на К.

9-5. Указание. Рассмотреть задачу Коши с начальными условиями . Тогда

(см. скан)

Рис. 16

(см. скан)

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рассмотрим, например, первое слагаемое. Умножая подынтегральное выражение на -функцию равную 1 при и 0 при (это не влияет на особенности u), попытаться найти такой дифференциальный оператор , что

Доказать, что такой оператор существует тогда и только тогда, когда (здесь х, у, t считаются параметрами) и использовать этот оператор для -кратного интегрирования по частям, передвигая его с экспоненты на остальные члены.

Указание. Привести оператор к каноническому виду.

(См. рис. 18: крышка гроба.)

б) , где . (См. рис. 19: чаша стадиона (бесконечной ))

9-8. а) Пусть данный параллелепипед задан как

Тогда ответ имеет вид

Рис. 20

Рис. 21

Сечение гиперплоскостью представляет собой либо меньший параллелепипед, либо прямоугольник, либо отрезок, либо пустое множество (рис. 20).

б) , где П — данный параллелепипед. Сечение гиперплоскостью изображено на рис. 21.

где рассматриваемая окружность имеет вид — полный заряд окружности, т.е. , где а — плотность, определящая потенциал.

Здесь Q — полный заряд круга .

10-3. Тот же ответ, что и в задаче 10-1 с -пространстве, где ось z является осью цилиндра, R — радиус сечения цилиндра плоскостью

где — плотность диполей, — расстояние до центра окружности или до оси цилиндра, R — радиус окружности или поперечного сечения цилиндра.

10.5.

где сфера радиуса R взята с центром в начале координат, Q — полный заряд сферы.

10-6. Индуцированный заряд .

Указание. Искомый потенциал равен 0 на поверхности сферы, следовательно, внутри сферы. Вычислить потенциал в центре сферы, предполагая известным распределение заряда на поверхности.

10-7. , где у — точка, где расположен исходный точечный заряд.

Указание. Пусть у — точка, полученная инверсией точки у относительно сферы (если сфера имеет вид то ). Поместить заряд q в точку у, тогда потенциал

совпадает с потенциалом всех реальных зарядов (Q и индуцированного) вне сферы ввиду единственности решения внешней задачи Дирихле. Тогда

10-8. Заряд распределится равномерно вдоль всей проволоки.

11-2. Лучи и характеристики — это одни и те же кривые в плоскости .

Указание. Использовать описание лучей как решений (11.54), удовлетворяющих