Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Ответы и указания1-1. a) Замена переменных:
(Имейте в виду, что замена переменных, приводящая уравнение к каноническому виду, неединственна; выше приведена одна из возможных замен, в то время как существуют и другие, столь же правильные.)
1-3. а) (Здесь и в п. б) вид общего решения не является единственным.) Указание. Замена переменных
сводит уравнение к виду
б) Указание. Замена переменных
приводит уравнение к виду
Указание. Написать уравнение
Указание. См. указание к п. а).
б),в) Пусть Тогда 2-3. Гука), S — поперечное сечение, где измеряется сила, — деформация маленького кусочка материала стержня вокруг точки измерения ( Указание. Показать, что относительное удлинение стержня в точке, имеющей координату
Здесь k — коэффициент упругости пружины, т. е. сила порожденная удлинением пружины на единицу длины.
2-7. 2-9. Указание. Используя результат задачи 2-8, доказать что 2-10. См. рис. 11. 2-11. Указание. Решение 2-12. 2-13. См. рис. 12. 2-14. См. рис. 13.
Рис. 11 Указание. Используйте формулу 2-15. Указание. См. указание к задаче 2-9. 2-16. Отраженная волна имеет вид
в тех же обозначениях, что в ответе к задаче 2-3. 2-17. Слева Справа 2-18. Стоячие волны имеют вид
(см. скан) Рис. 12 (см. скан) Рис. 13
Рис. 14 Графики первых функций
что
2-20. а) Резонансные частоты:
Если
Указание. Искать частное решение в виде б) Резонансные частоты:
Если
Указание. См. указание к п. а). 2-21. а) Резонансные частоты:
Если
Указание. См. указание к 2-20 а). б) Резонансные частоты:
Если
Указание. См. указание к 2-20 а). в) Резонансные частоты имеют вид Если
Если
Указание. См. указание к 2-20 а).
3-2. Указание. Значения k, удовлетворяющие
Физическая интерпретация:
Физическая интерпретация:
Рис. 15 3-6. Указание. Решение 3-7. Указание. Использовать неравенство
Указание. Использовать разложение
которое можно получить, например, как разложение функции
Указание. Это — равенство Парсеваля для ортогонального разложения
В частном случае
4-4. Указание. 4-6. Указание. Написать явные формулы для отображения 4-7. Указание. Использовать непрерывность обобщенной функции из 4-8. Указание. Использовать соображения двойственности. 4-10. Указание. Умножить предыдущую формулу на
Указание. Использовать сферическую симметрию и взять
Указание. Использовать ответ к б).
Указание. Это должно быть сферически симметричное фундаментальное решение оператора
Указание. Учитывая сферическую симметрию, взять
Указание. Вычислить
Время релаксации Указание. Первый член в написанной выше сумме намного больше остальных по истечении времени, сравнимого с «временем релаксации».
Здесь I — сила тока, R — электрическое сопротивление стержня, V — объём стрежня, k — коэффициент теплопроводности,
Указание. Уравнение, описывающее процесс, имеет вид
Указание. Рассмотреть интеграл Пуассона, дающий явную формулу для
Указание. Метод Фурье в полярных координатах дает
Указание. Найти частное решение 7-5. В полярных координатах
Указание. Метод Фурье в полярных координатах дает
7-6. Ответ на последний вопрос:
Указание. Общая схема такова. Шаг 1. Свести задачу к случаю
вычитая функцию вида Шаг 2. Искать в виде
1-1. Указание. Если
Второе слагаемое должно обращаться в 0 почти всюду, если мы хотим, чтобы функция и была ограничена. Поэтому
Поменять порядок интегрирований. 7-8. 7-9.Нет. Указание. Использовать неравенство Фридрихса. 8-1. Физическая интерпретация: 8-2. Та же, что и 8-3. Указание. Использовать, что оператор
Затем перейти к пределу при
при n 3, где
где
Указание. Использовать формулу из задачи 8-4. 8-7. Возьмём круг или шар
где Указание. Если
Если
Указание. Использовать формулу из задачи 8-4. Учесть при вычислении
8-9. Для полушара
где
Указание. 8-11. Указание. Использовать, что 8-12. Указание. Использовать формулу Лиувилля для вронскиана двух линейно независимых решений уравнения Бесселя. 8-13. Указание. Разложить левую часть в степенной ряд по t и 8-14. Указание. Взять 8-15. Для области
8-16. Указание. Использовать тот факт, что функции
(на пространстве функций, обращающихся в 0 при 8-17. Для круга
( Указание. Записать А в полярных координатах и разложить собственную функцию в ряд Фурье 8-18. Указание. Для цилиндра
9-1. 9-2. См. рис. 16.
Указание. Ввести новую неизвестную функцию 9-3. См. рис. 17.
Указание. Ввести новую неизвестную функцию
где 9-5. Указание. Рассмотреть задачу Коши с начальными условиями
(см. скан) Рис. 16 (см. скан) Рис. 17
Рис. 18
Рис. 19 Рассмотрим, например, первое слагаемое. Умножая подынтегральное выражение на
Доказать, что такой оператор существует тогда и только тогда, когда
Указание. Привести оператор к каноническому виду.
(См. рис. 18: крышка гроба.) б) 9-8. а) Пусть данный параллелепипед задан как
Тогда ответ имеет вид
Рис. 20
Рис. 21 Сечение гиперплоскостью б)
где
Здесь Q — полный заряд круга 10-3. Тот же ответ, что и в задаче 10-1 с
где 10.5.
где сфера радиуса R взята с центром в начале координат, Q — полный заряд сферы. 10-6. Индуцированный заряд Указание. Искомый потенциал равен 0 на поверхности сферы, следовательно, внутри сферы. Вычислить потенциал в центре сферы, предполагая известным распределение заряда на поверхности. 10-7. Указание. Пусть у — точка, полученная инверсией точки у относительно сферы (если сфера имеет вид
совпадает с потенциалом всех реальных зарядов (Q и индуцированного) вне сферы ввиду единственности решения внешней задачи Дирихле. Тогда
10-8. Заряд распределится равномерно вдоль всей проволоки.
11-2. Лучи и характеристики — это одни и те же кривые в плоскости Указание. Использовать описание лучей как решений (11.54), удовлетворяющих
|
1 |
Оглавление
|