5.7. Преобразование Фурье обобщённых функций умеренного роста

Обозначим через F оператор преобразования Фурье, переводящий функцию в

Из курса анализа известно, что преобразование Фурье задаёт изоморфизм

причём это топологический изоморфизм (непрерывный линейный оператор, имеющий непрерывный обратный), а обратный оператор задаётся формулой

Ясно, что если

Иными словами, Поэтому можно, пользуясь формулой (5.44) продолжить F до непрерывного отображения

Ясно, что преобразование Фурье F задаёт топологический изоморфизм на причём обратный оператор также имеет вид , где задано формулой (5.43), т.е.

Таким образом, мы умеем, например, определять преобразование Фурье любой функции для которой выполнена оценка

При этом преобразование Фурье будет, вообще говоря, не обычной, а обобщённой функцией из .

Отметим, что поскольку плотно в , то F на представляет собой продолжение по непрерывности преобразования Фурье заданного на . Это замечание позволяет переносить ряд фактов по непрерывности с на не проверяя их специально. Например, можно не проверять формулу (5.45), так как она верна при и обе её части непрерывны по на

Как и для мы будем обозначать преобразований Фурье обобщённой функции также через

Найдем преобразование Фурье от производной . Если , то интегрированием по частям получаем:

Таким образом,

Отсюда

для любого многочлена . Таким образом преобразование Фурье переводит оператор в оператор умножения на символ

Заметим теперь, что по непрерывности формула (5.47) верна и при

Пример 5.7. Вычислим преобразование Фурье -функции. Имеем при

Отсюда

Вычислим также преобразование Фурье от единицы:

благодаря формуле обращения (5.43). Таким образом,

Пример 5.8. Вычислим преобразование Фурье функции Хевисайда . Удобнее всего представить в виде предела убывающих функций, для которых преобразование Фурье можно брать в обычном смысле. Это можно сделать, например, так: ясно, что в

Имеем:

Переходя к пределу при , мы получаем

Заметим, что или Это согласуется с формулами (5.46) и (5.48) ввиду очевидного соотношения

Мы могли бы попытаться использовать это соображение для нахождения . А именно, из того, что вытекает, что . Однако, обобщённая функция удовлетворяющая условию , определена неоднозначно, хотя ясно, что она должна быть равна при . Легко видеть, что весь произвол сводится к добавлению , где С — произвольная постоянная. Можно было бы определить её, пользуясь определением преобразования Фурье обобщённой функции и применив его к какой-нибудь конкретной функции . Проще, однако, сразу воспользоваться изложенным выше способом.

Предложение 5.17. Пусть . Тогда и

Существует такая постоянная , что

для любого мультииндекса а.

Доказательство. Выберем число N и компакт так, что

Положим Поскольку является бесконечно дифференцируемой функцией от со значениями в то ясно, что причём

откуда следует, что для функции верна оценка (5.52). Остаётся проверить, что , т.е. что

Но это следует из того, что интеграл сходится в топологии т.е. равномерно по (где К — компакт в ) сходится сам этот интеграл и интегралы, полученные из него взятием производных любого порядка.

Замечание. Условие с оценкой (5.52) необходимы, но не достаточны для того, чтобы обобщённая функция имела компактный носитель. Ясно, например, что если то можно по формуле (5.51) определить при и мы получим целую (т.е. голоморфную всюду в ) функцию, удовлетворяющую условию

Оказывается, это условие на является уже необходимым и достаточным для включения . Этот факт является одним из вариантов теоремы Винера-Пэли и его доказательство можно, например, найти у Хёрмандера [55-2, с. 34].

Предложение 5.18. Пусть . Тогда

Доказательство. Заметим, что правая часть равенства (5.54) имеет смысл благодаря предложению 5.17. Легко проверяется также, что так что и левая часть (5.54) имеет смысл. В самом деле, если , то ввиду оценки типа (5.53). Поэтому для имеет смысл и при этом получается, конечно, что Проверим теперь (5.54). Имеем при :

что и требовалось.