Для доказательства нужна следующая
Лемма 5.15. Если функция
удовлетворяет, условию (5.40) в окрестности точки 0, то существует такая обобщённая функция
Доказательство. Хотелось бы придать такой смысл интегралу
чтобы на функциях
он принимал естественное значение (для таких
это обычный интеграл от финитной непрерывной функции). Для этого вычтем из функции
её тейлоровский многочлен в точке 0 и заметим, что при
Пусть
в окрестности точки 0. Положим
где интеграл уже определён, поскольку подынтегральная функция ограничена. Ясно, что если
то
поскольку тогда
при любом а. Легко видеть также, что
, что и доказывает лемму.
Доказательство теоремы 5.14. Ясно, что
будет обобщённой функцией с носителем в точке 0, т. е.
Но тогда если положить
то мы имеем, очевидно,
, откуда
. Теорема доказана.
В частности, для оператора Лапласа при
решение уравнения
(гармоническая функция), заданная в
и удовлетворяющая условию (5.40) имеет вид суммы однородных функций порядков
и гармонической функции в
.