§ 3. Задача Штурма-Лиувилля
3.1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
более общее, чем выведенное в § 2 уравнение колебаний неоднородной струны. Попробуем упростить уравнение заменой переменных 
, где 
— известная функция. Оказывается, при этом можно получить уравнение вида (3.1) с 
. В самом деле, имеем:
После подстановки в уравнение (3.1) и деления на 
получаем
Чтобы это уравнение имело вид (3.1) с 
нужно, чтобы было выполнено условие:
откуда
и можно взять, например,
Мы всегда предполагаем, что 
, так что эта подстановка возможна. Итак, рассмотрим уравнение
Решая его разделением переменных на отрезке 
мы приходим при условии, что концы закреплены, к следующей задаче на собственные значения:
Обобщением задачи на собственные значения (3.3)-(3.4) является такая же задача, в которой граничные условия (3.4) заменены более общими условиями:
где 
— вещественные числа, 
. Такая задача называется задачей Штурма - Лиувилля. При рассмотрении этой задачи обычно предполагают, что 
при 
(«эллиптичность»). Мы будем для простоты считать, что 
и берутся граничные условия (3.4). Общий случай рассматривается аналогично. Итак рассмотрим задачу
с граничными условиями (3.4). Будем также считать, что
Это не является ограничением, поскольку мы можем добиться выполнения (3.7), добавляя к А фиксированную постоянную.
