3.3. Коротковолновая асимптотика
Опишем асимптотическое поведение больших собственных значений и соответствующих собственных функций. Получаемые при этом асимптотические формулы часто называют коротковолновыми асимптотиками, имея в виду, что они соответствуют высоким частотам и, следовательно, малым длинам волн в нестационарной задаче.
Поведение собственных значений легко описывается с помощью осцилляционных теорем. А именно, собственные значения оператора
заключены между собственными значениями операторов
, где
. Поскольку собственные значения операторов
равны
, то мы получаем
В частности, отсюда следует асимптотическая формула
или, если положить
:
Найдем теперь асимптотику собственных функций
. Идея состоит в том, что при больших к член
в уравнении (3.12) играет большую роль, чем член
. Будем поэтому решать уравнение
с начальными условиями
считая
правой частью. При этом получится интегральное уравнение для
, которое можно будет решить методом последовательных приближении. Напишем
и выпишем уравнения для
возникающие в методе вариации постоянной:
Решая эти уравнения, мы найдём
, откуда
определяются интегрированием с точностью до произвольных постоянных, которые мы выберем из начальных условий:
возникающих из (3.18), если мы заметим, что
в силу (3.19). Имеем тогда
откуда
Ясно, что решение
этого интегрального уравнения удовлетворяет (3.17) и (3.18), так что оно равносильно уравнению (3.17) с начальными условиями (3.18). Для решения волыперрова уравнения (3.22) методом последовательных приближений рассмотрим стоящий в его правой части интегральный оператор А, задаваемый формулой
Уравнение (3.22) записывается как
и его решение можно записать в виде
если только ряд в правой части (3.23) сходится и к нему можно почленно применить оператор А.
На самом деле ряд в (3.23) равномерно по
сходится при всех к, но поскольку нас интересуют лишь большие значения к, то можно ограничиться очевидным замечанием, что он равномерно на
сходится при больших к, потому что А — ограниченный равномерно по k оператор в
, а функции
имеют в
норму, равную 1. В частности, мы получаем
(3.24)
Это и даёт коротковолновую асимптотику собственных функций
, поскольку из (3.16) и (3.24) ясно, что