3.3. Коротковолновая асимптотика

Опишем асимптотическое поведение больших собственных значений и соответствующих собственных функций. Получаемые при этом асимптотические формулы часто называют коротковолновыми асимптотиками, имея в виду, что они соответствуют высоким частотам и, следовательно, малым длинам волн в нестационарной задаче.

Поведение собственных значений легко описывается с помощью осцилляционных теорем. А именно, собственные значения оператора заключены между собственными значениями операторов , где . Поскольку собственные значения операторов равны , то мы получаем

В частности, отсюда следует асимптотическая формула

или, если положить :

Найдем теперь асимптотику собственных функций . Идея состоит в том, что при больших к член в уравнении (3.12) играет большую роль, чем член . Будем поэтому решать уравнение

с начальными условиями

считая правой частью. При этом получится интегральное уравнение для , которое можно будет решить методом последовательных приближении. Напишем

и выпишем уравнения для возникающие в методе вариации постоянной:

Решая эти уравнения, мы найдём , откуда определяются интегрированием с точностью до произвольных постоянных, которые мы выберем из начальных условий:

возникающих из (3.18), если мы заметим, что в силу (3.19). Имеем тогда

откуда

Ясно, что решение этого интегрального уравнения удовлетворяет (3.17) и (3.18), так что оно равносильно уравнению (3.17) с начальными условиями (3.18). Для решения волыперрова уравнения (3.22) методом последовательных приближений рассмотрим стоящий в его правой части интегральный оператор А, задаваемый формулой

Уравнение (3.22) записывается как

и его решение можно записать в виде

если только ряд в правой части (3.23) сходится и к нему можно почленно применить оператор А.

На самом деле ряд в (3.23) равномерно по сходится при всех к, но поскольку нас интересуют лишь большие значения к, то можно ограничиться очевидным замечанием, что он равномерно на сходится при больших к, потому что А — ограниченный равномерно по k оператор в , а функции имеют в норму, равную 1. В частности, мы получаем

(3.24)

Это и даёт коротковолновую асимптотику собственных функций , поскольку из (3.16) и (3.24) ясно, что