7.3. Интеграл Дирихле. Неравенство Фридрихса
Интегралом Дирихле называется интеграл
где и 
. Его физический смысл состоит в том, что он равен потенциальной энергии струны (при 
) мембраны (при 
) или упругого твёрдого тела (при 
) если 
означает смещение от положения равновесия, которое подразумевается малым. Легко видеть, что условие стационарности этого интеграла при деформациях, сохраняющих 
т. е. уравнение Эйлера функционала 
есть просто уравнение Лапласа. В случае струны это фактически проверялось в п. 2.1, где вычислялся лагранжиан струны. Проверим это в многомерном случае. Пусть для простоты и 
(область 
для простоты будем считать ограниченной и имеющей гладкую границу). Напишем условие стационарности: 
Имеем:
(при интегрировании по частям интеграл по поверхности пропадает ввиду того, что 
Итак, условие стационарности интеграла Дирихле при и 
и при фиксированном 
равносильно тому, что 
Поэтому задачу Дирихле для уравнения Лапласа можно рассматривать как задачу о минимизации интеграла Дирихле в классе функций, удовлетворяющих условию 
где 
— фиксированная функция на 
.
Уравнение Лапласа 
легко получить и при и 
если и — стационарная точка интеграла Дирихле при допустимых вариациях 
Это делается той же выкладкой, но вместо интегрирования по частям надо использовать определение производной обобщённой функции.
Отметим, что на самом деле стационарные точки интеграла Дирихле являются минимумами (это будет ясно из дальнейшего).
Поэтому задача Дирихле может ставиться как задача о минимизации интеграла Дирихле в классе функций с фиксированным граничным значением.
Предложение 7.8. Пусть 
— ограниченная область в 
. Тогда существует такая постоянная 
что
(это неравенство называется неравенством Фридрихса).
Доказательство. Обе части неравенства (7.13) непрерывны на пространстве 
. Поскольку 
является замыканием 
то ясно, что неравенство (7.13) достаточно доказать при и 
(с постоянной С, не зависящей от u).
Пусть область 
содержится в полосе 
(мы всегда можем добиться этого, беря достаточно большое R и передвигая 
в 
с помощью параллельного переноса, не влияющего на выполнимость оценки 
). При и 
имеем:
Отсюда по неравенству Коши-Буняковского
Интегрируя по 
это неравенство, мы получаем теперь:
В частности, отсюда следует, что неравенство (7.13) верно при и 
с постоянной 
что и требовалось.
Из неравенства Фридрихса следует, что в ограниченной области 
норма 
на 
равносильна норме, задаваемой интегралом Дирихле, а именно 
. В самом деле,
означает норму в 
. Неравенство Фридрихса означает, что 
, откуда
оно определяет структуру гильбертова пространства, поскольку 
— замкнутое подпространство в 
а норма 
эквивалентна на 
норме 