4.2. Пространства обобщённых функции

Описанная выше процедура перехода от пространства Е к дуальному пространству Е дает возможность определить пространства как пространства, дуальные к Мы не вводили никакой топологии в (естественная топология в ) вводится нетривиально), но нам это не понадобится: мы определим сразу пространство как пространство таких линейных функционалов на что ограничение непрерывно на для любого компакта .

Определение 4.3. а) Элементы пространства называются обобщёнными функциями в .

б) Элементы пространства называются обобщёнными функциями с компактным носителем в

в) Элементы пространства называются обобщёнными функциями умеренного роста на

Пример 4.1. «Обычные» или «регулярные» обобщённые функции в

Пусть — пространство функций на , абсолютно интегрируемых по мере Лебега на любом компакте . Сопоставим каждой функции функционал на (мы будем обозначать его той же буквой ), полагая

где Очевидно, что при этом мы получаем обобщённую функцию в (она называется в этом случае «обычной» или «регулярной»). Важный факт состоит в том, что если две функции определяют одну и ту же обобщённую функцию, то они совпадают почти везде. Это следствие следующей известной леммы.

Лемма 4.4. Пусть для любой функции . Тогда для почти всех х.

Доказательство этой леммы требует использования в той или иной форме факта существования достаточно большого числа функций в . Пока ещё мы не знаем, существуют ли такие нетривиальные функции. Построим некоторый запас функций, принадлежащих .

Прежде всего, пусть где — функция Хевисайда, т. е. при при . Ясно, что Поэтому если теперь рассмотреть в функцию то мы получим функцию при при Удобно нормировать функцию рассмотрев вместо неё функцию где . Теперь положим Тогда при при .

Введём теперь важную операцию усреднения: по функции построим свёртку

определённую при Из теоремы Лебега ясно, что последний интеграл в (4.10) можно дифференцировать, причем

так что Отметим также следующие свойства операции усреднения:

а) Если вне компакта то вне -окрестности компакта К.

В частности, в этом случае при достаточно малом

В частности, если — характеристическая функция то при ;

в) Если то при равномерно на любом компакте .

В самом деле,

откуда

так что утверждение следует из равномерной непрерывности на -окрестности компакта К.

г) Если где , то при по норме для любого компакта .

Поскольку значения при зависят лишь от значений на -окрестности компакта К, можно считать, что при где — некоторый компакт в . Будем через обозначать норму т.е.

Имеем:

В силу п. в) утверждение п. г) верно при Но если вне компакта то мы можем приблизить по норме ступенчатыми и затем непрерывными функциями, равными 0 вне компакта Пусть — такая непрерывная функция на равная вне что Тогда получим:

откуда ввиду произвольности числа вытекает, что

что и требовалось.

Докажем теперь утверждение леммы 4.4. Пусть для любой функций Но отсюда следует, что при всех Поэтому утверждение леммы вытекает из п. г).

Лемма 4.4 позволяет отождествить функции с обобщёнными функциями, определяемыми ими по формуле (4.9). Заметим, что запись

часто употребляется и для обобщённых функций (в этом случае левая часть (4.12) является определением правой; в случае, когда правая часть имеет смысл, это определение непротиворечиво).

Пример 4.2. «Регулярные» обобщённые функции в . Если , т.е. вне некоторого компакта , то мы можем построить по стандартной формуле (4.12) функционал на являющийся обобщённой функцией с компактным носителем. Мы будем отождествлять и соответствующий элемент . Если и

при некотором то формула (4.12) задаёт функционал на являющийся обобщённой функцией умеренного роста. В частности, (4.13) выполнено, если измерима и

Пример 4.3. -функция Дирака.

Это функционал, определяемый формулой

Если то При любом ясно, что Вместо (4.15) в соответствии с вышеупомянутым соглашением часто пишут

хотя ясно, что не является регулярной обобщённой функцией, поскольку из леммы 4.4 вытекало бы в этом случае, что она равна почти везде вне точки

Пример 4.4. Пусть L — линейный дифференциальный оператор в — гладкая компактная поверхность в — элемент площади поверхности Г. Тогда формула

определяет нерегулярную обобщённую функцию с компактным носителем в . В качестве Г можно брать компактное подмногообразие (возможно, с краем) любой коразмерности в . В этом случае в качестве можно брать любую плотность на Г (или дифференциальную форму максимальной размерности, если фиксирована ориентация Г). В частности, если Г — точка, то мы получим -функцию, определённую выше.