5.9. Теорема Лиувилля

Теорема 5.19. Пусть оператор имеет символ обращающийся в 0 (при ) лишь в точке . Тогда если и , то — многочлен по переменному . В частности, если , где — ограниченная измеримая функция на то .

Замечание, а) Условие выполнено, например, если при каких-нибудь С и N.

б) Если при некотором , то уравнение имеет ограниченное решение не являющееся постоянным. Поэтому условие при необходимо для справедливости теоремы.

в) Если при всех , то из условия при вытекает, как будет видно из доказательства теоремы, что .

Доказательство теоремы 5.19. Применяя преобразование Фурье, получаем:

Поскольку при , то ясно, что сосредоточена в точке 0.

Подробнее: если то , а отсюда следует, что

Итак, . Поэтому

Но отсюда

что и требовалось.

Пример. Если — гармоническая функция всюду на , то (это утверждение часто называют теоремой Лиувилля для гармонических функций). Если и гармонична на и то — многочлен. Те же утверждения верны для решений уравнения .

Для гармонических функций можно доказать более точное утверждение: если и гармонична и ограничена с одной стороны, т.е. и то (см., например, Петровский [43]). Это утверждение неверно уже для уравнения которому удовлетворяет неотрицательный многочлен и .

Приведем один пример применения теоремы Лиувилля. Пусть при n 3 нам дана функция определенная и гармоническая во внешности некоторого шара, т. е. при причём при . Мы хотим описать поведение при более детально. Для этого можно поступить, например, следующим образом. Выберем функцию так, что при при . Теперь рассмотрим функцию равную при и 0 при . Ясно, что . Проверим, что

где — стандартное фундаментальное решение оператора Лапласа.

Ясно, что при , а по предположению то же самое верно для значит, для поскольку при . Кроме того,

так что всюду на . Но по теореме Лиувилля отсюда получается, что , что и требовалось. Формула (5.57) может быть записана в виде

Из явного вида вытекает теперь, например, что

Приведённое рассуждение применимо и в более общих ситуациях. Для гармонических функций же более детальную информацию о поведении при можно получить с помощью так называемого преобразования Кельвина. Это преобразование переводит функцию в функцию и сохраняет гармоничность функции (при это замена переменной, индуцированная инверсией). Если определена при больших то определена в проколотой окрестности точки 0, т.е. , где — окрестность точки при то мы видим, что при , а тогда по теореме об устранимой особенности гармонична всюду в .

Заметим, что преобразование Кельвина обратно самому себе (или, как говорят, является инволюцией), т.е. наоборот можно выразить u через v той же формулой . Разлагая в ряд Тейлора при мы видим, что в окрестности бесконечности имеет сходящееся разложение в ряд вида

В частности, ясно, что при