Замечание, а) Условие
выполнено, например, если
при каких-нибудь С и N.
б) Если
при некотором
, то уравнение
имеет ограниченное решение не являющееся постоянным. Поэтому условие
при
необходимо для справедливости теоремы.
в) Если
при всех
, то из условия
при
вытекает, как будет видно из доказательства теоремы, что
.
Доказательство теоремы 5.19. Применяя преобразование Фурье, получаем:
Поскольку
при
, то ясно, что
сосредоточена в точке 0.
Подробнее: если
то
, а отсюда следует, что
Итак,
. Поэтому
Но отсюда
что и требовалось.
Пример. Если
— гармоническая функция всюду на
, то
(это утверждение часто называют теоремой Лиувилля для гармонических функций). Если и
гармонична на
и
то
— многочлен. Те же утверждения верны для решений уравнения
.
Для гармонических функций можно доказать более точное утверждение: если и гармонична и ограничена с одной стороны, т.е. и
то
(см., например, Петровский [43]). Это утверждение неверно уже для уравнения
которому удовлетворяет неотрицательный многочлен и
.
Приведем один пример применения теоремы Лиувилля. Пусть при n 3 нам дана функция
определенная и гармоническая во внешности некоторого шара, т. е. при
причём
при
. Мы хотим описать поведение
при
более детально. Для этого можно поступить, например, следующим образом. Выберем функцию
так, что
при
при
. Теперь рассмотрим функцию
равную
при
и 0 при
. Ясно, что
. Проверим, что
где
— стандартное фундаментальное решение оператора Лапласа.
Ясно, что
при
, а по предположению то же самое верно для
значит, для
поскольку
при
. Кроме того,
так что
всюду на
. Но по теореме Лиувилля отсюда получается, что
, что и требовалось. Формула (5.57) может быть записана в виде
Из явного вида
вытекает теперь, например, что
Приведённое рассуждение применимо и в более общих ситуациях. Для гармонических функций же более детальную информацию о поведении
при
можно получить с помощью так называемого преобразования Кельвина. Это преобразование переводит функцию
в функцию
и сохраняет гармоничность функции (при
это замена переменной, индуцированная инверсией). Если
определена при больших
то
определена в проколотой окрестности точки 0, т.е.
, где
— окрестность точки
при
то мы видим, что
при
, а тогда по теореме об устранимой особенности
гармонична всюду в
.