Замечание, а) Условие 
выполнено, например, если 
при каких-нибудь С и N.
б) Если 
при некотором 
, то уравнение 
имеет ограниченное решение не являющееся постоянным. Поэтому условие 
при 
необходимо для справедливости теоремы.
в) Если 
при всех 
, то из условия 
при 
вытекает, как будет видно из доказательства теоремы, что 
.
Доказательство теоремы 5.19. Применяя преобразование Фурье, получаем:
Поскольку 
при 
, то ясно, что 
сосредоточена в точке 0.
Подробнее: если 
то 
, а отсюда следует, что
Итак, 
. Поэтому
Но отсюда
что и требовалось.
Пример. Если 
— гармоническая функция всюду на 
, то 
(это утверждение часто называют теоремой Лиувилля для гармонических функций). Если и 
гармонична на 
и 
то 
— многочлен. Те же утверждения верны для решений уравнения 
.
Для гармонических функций можно доказать более точное утверждение: если и гармонична и ограничена с одной стороны, т.е. и 
то 
(см., например, Петровский [43]). Это утверждение неверно уже для уравнения 
которому удовлетворяет неотрицательный многочлен и 
.
Приведем один пример применения теоремы Лиувилля. Пусть при n 3 нам дана функция 
определенная и гармоническая во внешности некоторого шара, т. е. при 
причём 
при 
. Мы хотим описать поведение 
при 
более детально. Для этого можно поступить, например, следующим образом. Выберем функцию 
так, что 
при 
при 
. Теперь рассмотрим функцию 
равную 
при 
и 0 при 
. Ясно, что 
. Проверим, что
где 
— стандартное фундаментальное решение оператора Лапласа.
Ясно, что 
при 
, а по предположению то же самое верно для 
значит, для 
поскольку 
при 
. Кроме того,
так что 
всюду на 
. Но по теореме Лиувилля отсюда получается, что 
, что и требовалось. Формула (5.57) может быть записана в виде
Из явного вида 
вытекает теперь, например, что
Приведённое рассуждение применимо и в более общих ситуациях. Для гармонических функций же более детальную информацию о поведении 
при 
можно получить с помощью так называемого преобразования Кельвина. Это преобразование переводит функцию 
в функцию 
и сохраняет гармоничность функции (при 
это замена переменной, индуцированная инверсией). Если 
определена при больших 
то 
определена в проколотой окрестности точки 0, т.е. 
, где 
— окрестность точки 
при 
то мы видим, что 
при 
, а тогда по теореме об устранимой особенности 
гармонична всюду в 
.
имеет символ 
обращающийся в 0 (при 
) лишь в точке 
. Тогда если и 
, то 
— многочлен по переменному 
. В частности, если 
, где 
— ограниченная измеримая функция на 
то 
.
. Разлагая 
в ряд Тейлора при 
мы видим, что 
в окрестности бесконечности имеет сходящееся разложение в ряд вида
