§ 2.3. Минимизация интегральной квадратичной ошибки. Пример

Основываясь на теореме Парсеваля, можно сформулировать задачу о выборе параметров из условия минимума интегральной квадратичной ошибки для произвольных входных сигналов. Задача минимизации распадается на четыре последовательных шага. Первый шаг состоит в определении изображения Фурье ошибки как функции комплексной переменной Эта функция будет зависеть от параметров системы, которыми мы можем распоряжаться. Второй шаг состоит в выражении интегральной квадратичной ошибки в функции изображения ошибки на основании теоремы Парсеваля

При этом если - дробно-рациональная функция, то может быть представлена в виде

где — полиномы от Третий шаг заключается в вычислении интеграла. К счастью, определенный интеграл (2.3-2) был вычислен как функция коэффициентов полиномов. Таблица этих интегралов вместе с описанием помещена в приложении V. После вычисления интеграла мы получаем интегральную квадратичную ошибку как функцию параметров а именно

Четвертый шаг состоит в выборе значений параметров из условия минимума интегральной квадратичной ошибки. Формально это может быть сделано обычным методом, если приравнять частные производные по параметрам нулю и решить полученную систему уравнений относительно значений параметров. Эта система из К уравнений имеет вид

К сожалению, во многих практических задачах формальная процедура определения значений параметров, минимизирующих интегральную квадратичную ошибку, приводит к системе нелинейных уравнений, для которых не существует простых методов решения.

Если уравнения (2.3-3) достаточно сложны для решения аналитическими методами, то можно использовать численные методы или методы последовательных приближений. Однако когда для решения уравнений относительно параметров необходимы такие методы, то, вероятно, удобнее обратиться непосредственно к выражению интегральной квадратичной ошибки, изобразив ее как функцию одного параметра и считая остальные значения параметров фиксированными. Используя несколько совокупностей значений параметров и соответственно достаточное число кривых, можно определить значения всех параметров, обеспечивающих интегральную квадратичную ошибку, достаточно близкую, для практических целей, к ее минимальному значению. Непосредственное использование интегральной квадратичной ошибки позволяет избежать вычисления ее частных производных относительно параметров, которое может быть достаточно сложной и трудоемкой задачей. Процедуру отыскания минимума интегральной квадратичной ошибки можно пояснить на примере. Для иллюстрации рассмотрим расчет следящей системы по положению. В качестве входного сигнала возьмем ступенчатую функцию с высотой М. Задача

следящей системы состоит в том, чтобы сделать сигнал на выходе равным сигналу на входе. Следовательно, в этом случае желаемый сигнал на выходе совпадает с входным. В качестве заданного элемента системы выбран сервомотор, которому соответствует интегрирующее звено, соединенное последовательно с апериодическим. Физически это соответствует двигателю постоянного тока с регулированием в цепи якоря.

Если предположить, что напряжение на якоре пропорционально сигналу управления и пренебречь индуктивностью якоря, то постоянная времени будет равна моменту инерции всей системы, приведенному к валу двигателя и деленному на коэффициент электрического демпфирования двигателя. Момент нагрузки и вязкое трение считаются достаточно малыми и не учитываются. Поскольку рассматривается следящая система по положению, то нужно считать передаточную функцию в цепи обратной связи равной единице.

В качестве корректирующего элемента используем самый простой усилитель. Тогда единственным регулируемым параметром будет коэффициент усиления.

Для выбранной следящей системы необходимо определить интегральную квадратичную ошибку в функции коэффициента усиления и такое значение коэффициента, при котором эта ошибка минимальна. Если воспользоваться принятыми обозначениями, то задачу можно сформулировать следующим образом.

Дано. Сигнал на входе

Для желаемого выходного сигнала имеем

Передаточная функция неизменяемой части системы

Передаточная функция элемента в обратной связи

Передаточная функция корректирующего элемента

где - коэффициент усиления системы по скорости. Этот коэффициент включает в себя коэффициент усиления неизменной части системы и коэффициент усиления звена коррекции.

Необходимо определить. Вначале необходимо определить интегральную квадратичную ошибку как функцию то есть Затем необходимо определить такое значение при котором ошибка минимальна.

Решение. На основании рис. 2.1-2 можно записать следующее выражение для изображения ошибки:

На основании данных задачи для передаточной функции всей системы имеем

Изображение Фурье входного сигнала имеет вид

Соответственно изображение желаемого сигнала на выходе

Следовательно, можно записать изображение ошибки в виде

Согласно теореме Парсеваля, для интегральной квадратичной ошибки получим

где

и

Формула для имеется в приложении V:

Подставляя значения коэффициентов из (2.3-15) и (2.3-16) в это выражение, получаем

или после деления на имеем

Это дает первый искомый результат — величину интегральной квадратичной ошибки как функцию

При определении значения при котором интегральная квадратичная ошибка минимальна, необходимо вначале определить

область значений обеспечивающих устойчивость системы. Из (2.3-10) видно, что система устойчива для любых положительных значений и неустойчива для отрицательных значений Согласно (2.3-18), можно заключить, что значение минимизирующее интегральную квадратичную ошибку, равно Это дает ответ на второй поставленный вопрос. Отметим, что если не принимать во внимание условия устойчивости, то можно получить нулевое значение интегральной квадратичной ошибки, положив Это необходимо учитывать при определении значений параметров, минимизирующих интегральную квадратичную ошибку. Очевидно, приемлемыми значениями будут только те, при которых система устойчива. Из физических соображений ясно, что если значение параметра соответствует неустойчивой системе, то интегральная квадратичная ошибка обращается в бесконечность. Тот факт, что значение интегральной квадратичной ошибки (которая вычисляется на основании таблицы интегралов V.2-1 приложения V) конечно для значений параметров, соответствующих неустойчивости, можно объяснить условиями, использованными при выводе этих определенных интегралов. Эти условия сводятся к тому, что должна иметь все нули в левой полуплоскости. Для неустойчивой системы они, очевидно, не удовлетворяются и значение интегральной квадратичной ошибки, формально полученное при помощи таблицы интегралов, недействительно.

Рассмотрение этого примера подтвердит наше заключение о том, что коэффициент усиления системы для минимальной интегральной ошибки должен быть бесконечным. Коэффициент демпфирования системы второго порядка, определяемый (2.3-10), равен

а собственная частота

Если подставить эти параметры в (2.3-10), получим

Для ошибки, когда на входе действует единичная функция и желаемый сигнал совпадает с входным, имеем

Согласно (2.3-19), коэффициент демпфирования убывает при увеличении коэффициента усиления и поэтому является несколько неожиданным, что интегральная квадратичная ошибка убывает с увеличением коэффициента усиления. Однако если записать выражение для ошибки как функцию параметров то получим

Это выражение показывает, что «огибающая» ошибки имеет затухание, определяемое только постоянной времени двигателя и не зависящее от усиления Следовательно, при увеличении усиления функция носит все более колебательный характер, при этом ее огибающая в первом приближении не изменяется, как показано на рис. 2.3-1. Это объясняет тот факт, что интегральная квадратичная ошибка остается всегда конечной, независимо от того, насколько велик коэффициент усиления.

Для малых коэффициентов усиления значения огибающей будут несколько больше, чем для больших из-за наличия квадратного, корня в знаменателе (2.3-23). В связи с этим следует ожидать увеличения интегральной квадратичной ошибки при уменьшении коэффициента усиления.

С другой стороны, для очень больших значений усиления огибающая в (2.3-23) практически не зависит от однако число колебаний, заключенных в этой огибающей, становится настолько большим, что на любом малом интервале времени колебания имеют практически синусоидальную форму. Среднее квадратичное значение синусоидального сигнала равно половине квадрата амплитуды. Это означает, что можно вычислять интегральное квадратичное значение ошибки для больших как половину интегральной квадратичной, ошибки от огибающей, т. е.

или

После вычисления определенного интеграла получаем

Это значение можно также получить из (2.3-18) при

В большинстве практических задач увеличение коэффициента усиления до бесконечности делает систему неустойчивой, при этом интегральная квадратичная ошибка обращается в бесконечность. Таким образом, результат рассмотренного примера является скорее необычным и его можно объяснить простотой элементов (см. (2.3-6)), составляющих неизменную часть системы.

Рис. 2.3-1. Ошибка в системе второго порядка при единичном ступенчатом воздействии: а) вход; б) ошибка при ошибка при

Такая идеализация в отношении заданных элементов в общем случае неприемлема при больших коэффициентах усиления. Один из путей ограничения диапазона изменения параметров так, чтобы идеализация заданных элементов системы была приемлемой, заключается в том, что задается собственная частота системы и после этого решается задача о выборе параметров из условия минимума интегральной квадратичной ошибки. Здесь следует считать, что постоянная времени двигателя и усиление по скорости выбираются произвольно. Значение можно переписать как функцию коэффициента демпфирования и собственной частоты

Легко видеть, что достигает минимума при Этот результат был впервые получен Холлом [21]. Значение коэффициента демпфирования, равное половине, является наиболее разумным для системы второго порядка.

Процедура минимизации интегральной квадратичной ошибки, рассмотренная выше и иллюстрированная примером, может применяться лишь в случае, когда изображение ошибки является дробно-рациональной функцией. В противном случае этот метод приводит к серьезным затруднениям в расчете, в частности, если изображение ошибки является иррациональной функцией. Одним из возможных путей преодоления этих затруднений является аппроксимация функции времени так, чтобы изображение было дробно-рациональной функцией. Другой путь состоит в том, чтобы аппроксимировать изображение ошибки дробно-рациональной функцией. Наконец, третий путь заключается в том, чтобы производить все вычисления в области времени. Первые два пути очевидны, так как задача представляется в форме, рассмотренной выше. Третий путь будет кратко рассмотрен в следующем параграфе.