§ 1.5. Задача регулирования

Исторически системы регулирования создавались и использовались задолго до того, как были созданы методы их анализа и расчета. В системах регулирования, которые используют человека, достигнутый успех можно приписать многосторонним возможностям человека, позволяющим ему регулировать в широких пределах характер и величину реакции на одно или несколько возмущений. С появлением автоматических систем регулирования, таких, как привод для вращения башни ветряной мельницы и центробежный регулятор паровой машины, появившихся в XVIII веке, в регулировании начали возникать явления, которые вначале доставляли большие неприятности изобретателям и инженерам. По мере того, как они увеличивали чувствительность своих систем с целью уменьшения ошибки, появлялась неустойчивость (рысканье). Однако лишь после гражданской войны в США Джеймс Клерк Максвелл написал свою работу «О регуляторах» и, таким образом, первый произвел анализ систем регулирования. Хотя от изобретения Уаттом регулятора паровой машины до появления работы Максвелла прошло 80 лет, потребовалось еще более 50 лет для того, чтобы анализ системы с обратной связью стал широко доступным в инженерном деле. Тем временем было построено большое число различных систем регулирования.

Что такое проблема регулирования? Почему методы анализа и расчета систем регулирования требуют такого специального изложения, что по этому предмету было написано большое число учебников и это число увеличивается с каждым годом? Попытаемся ответить

на эти вопросы, возникающие в сознании любого человека, не искушенного в области регулирования.

В классическом смысле задачу регулирования можно было бы отождествить почти полностью с задачей устойчивости. Поэтому вначале исследователи в этой области почти всегда занимались рассмотрением задачи устойчивости. Конечно, задача устойчивости связана с желанием получить лучшие характеристики, что сопровождается уменьшением ошибки. Увеличивая коэффициент усиления или чувствительность системы регулирования, инженер понимает, что он мог бы за счет этого уменьшить ошибку. Однако вскоре возникает предел, за которым дальнейшее увеличение коэффициента усиления приводит к колебаниям сигнала на выходе системы, даже если входной сигнал равен нулю. Это явление, часто называемое рысканием, настолько мешает инженеру, что даже в настоящее время все другие задачи регулирования отступают перед ним на второй план. Для линейных математических моделей задача устойчивости впервые рассматривалась применительно к дифференциальным уравнениям. При помощи критерия устойчивости Рауса, появившегося в 1877 г., по коэффициентам характеристического уравнения можно определить, устойчива система или нет (см. приложение II). К сожалению, критерий Рауса дает относительно небольшую информацию о степени устойчивости. Следовательно, чтобы быть уверенным, что все составляющие переходного процесса достаточно хорошо демпфированы, часто необходимо определять корни характеристического уравнения. Другой недостаток этого раннего исследования задачи устойчивости связан со сложным видом зависимости коэффициентов характеристического уравнения от основных параметров системы. Даже в самых простых системах некоторые коэффициенты могут зависеть от постоянной времени корректирующего звена или коэффициента усиления системы, усложняя тем самым предсказания влияния изменений этих параметров на устойчивость.

С начала сороковых годов, после того как к системам автоматического регулирования начал применяться критерий устойчивости Найквиста, в задачах анализа систем был достигнут

существенный прогресс (см. приложение II). Найквист получил свой критерий в 1932 г. при расчете усилителя с обратной связью. Используя в своем доказательстве теорему Коши о вычетах, Найквист привлек тем самым к теории функций комплексного переменного внимание инженеров, работающих в области связи и систем регулирования. В результате этого, начиная с 1940 г. теория функций все шире применялась при расчете фильтров и систем регулирования, спустя приблизительно 100 лет после оригинального исследования Коши.

Почти одновременно с критерием устойчивости Найквиста инженеры начали применять метод частотных характеристик для определения коэффициента усиления системы при заданной степени устойчивости [21]. Метод частотных характеристик получил широкое распространение в связи с выбором корректирующих звеньев. Постепенно была разработана стандартная последовательность расчета систем регулирования методом проб (последовательных приближений). Этот способ расчета описан в большом числе учебников. Краткие сведения по методу проб приводятся в приложениях III и IV.

Дополнительно к аспекту устойчивости в проблеме регулирования необходимо рассмотреть ряд других аспектов. Точно так же, как фильтр или электрическую цепь в теории связи, систему регулирования можно рассматривать как устройство для переработки информации. Иногда задачу о передаче сигнала системой регулирования можно решать методами теории информации. Однако в настоящее время обычно ограничиваются рассмотрением реакции системы на периодический произвольный или случайный входные сигналы.

Системы регулирования в некотором отношении существенно отличаются от фильтров. Прежде всего они могут содержать звенья, которыми не может распоряжаться инженер. Это — заданные элементы системы. Такими заданными элементами могут быть двигатели, установки или объекты регулирования, которые рассчитываются вне связи с удобством регулирования. Например, в следящих системах, по положению, сервомотор часто является заданным элементом в том смысле, что инженер имеет относительно мало свободы при его выборе. В частности, при больших мощностях выбор сервомотора весьма ограничен. Инженер должен принять во внимание динамические характеристики заданных элементов так, чтобы добиться наилучшей совместной работы этих элементов с корректирующими звеньями. Следовательно, заданные элементы в системах регулирования вносят в расчет дополнительные трудности, отсутствующие обычно при расчетах фильтров.

Второе отличие системы регулирования от фильтра связано с присутствием возмущающего воздействия, приложенного в точке, отличной от входа системы. Обычно возмущающие воздействия возникают в заданных элементах. Основная цель заключается в минимизации влияния этих возмущений на выходной сигнал системы регулирования. Примерами возмущающих воздействий могут служить моменты нагрузки в следящей системе, изменения давления, температуры, скорости и других параметров в процессе регулирования. В задачах, связанных с фильтрами, имеются лишь входные возмущения.

Третья отличительная черта систем регулирования от фильтров состоит в природе применяемых элементов. В фильтрах почти всегда используются электрические элементы, которые могут быть точно выполнены и не изменяются в течение продолжительного времени. В системах регулирования часто используются механические, гидравлические и пневматические элементы, свойства которых менее стабильны во времени, чем свойства высококачественных электрических элементов. Эти факторы часто заставляют инженера приостановить решение оптимальной задачи, так как он хорошо знает, что параметры физической системы могут значительно отличаться от расчетных.

Наконец, требования к передаче сигнала могут быть совершенно другими, что также отличает задачи регулирования от задач, связанных с фильтрами. Обычно в задачах регулирования рассматриваются низкочастотные сигналы, но это зависит лишь от масштаба времени. Имеются более существенные отличия. В многочисленных приложениях систем регулирования важно иметь точное воспроизведение мгновенных значений желаемого сигнала на выходе. Ошибка получается в этом случае как разность мгновенных значений между желаемым сигналом и действительным сигналом на выходе системы. Это отличает системы регулирования от фильтров, где задача состоит в том, чтобы воспроизвести желаемый сигнал, при этом чистое запаздывание не играет никакой роли. В теории фильтров форма синусоидального сигнала считается удовлетворительной, если амплитуда частотной характеристики остается постоянной, а фаза изменяется линейно в достаточно широкой полосе частот. В связи с этим уделяется значительное внимание уменьшению амплитудных и фазовых искажений относительно указанных выше желаемых характеристик. В системах регулирования сдвиг по фазе, линейно меняющийся с частотой, может быть причиной значительных ошибок в том случае, когда желаемый сигнал на выходе должен воспроизводиться без сдвига. Для того чтобы продемонстрировать, насколько жесткие требования возникают при точном воспроизведении мгновенных значений, рассмотрим следующий пример. На рис. 1.5-1 показана схема простой системы регулирования второго

порядка. Входным сигналом этой системы является треугольный периодический сигнал, показанный сплошной линией на рис. 1.5-2. Оценим свойства этой системы с двух точек зрения. Первая состоит в предположении о том, что идеальный сигнал на выходе должен быть тождественно равен входному сигналу. В другом случае идеальный выходной сигнал должен также по форме точно совпадать с входным сигналом. Однако допускается небольшое запаздывание

Рис. 1.5-1. Система регулирования второго порядка.

Этот желаемый сигнал показан пунктирной кривой на рис. Физически наша система регулирования является следящей системой по положению. Заданными элементами системы является электрический двигатель с чисто инерционной нагрузкой.

Рис. 1.5-2. Входной сигнал и идеальный сигнал выходе.

Если предположить, что ускорение на выходе меняется по экспоненциальному закону, когда на входе имеется единичная функция напряжения, то передатрчнан функция двигателя определяется выражением, записанным на схеме. Постоянная времени равна отношению суммарного момента инерции двигателя и нагрузки к коэффициенту электрического демпфирования. Коррекция двигателя производится при помощи усилителя. Это означает, что мгновенное значение напряжения на двигателе пропорционально ошибке. Усиление двигателя и корректирующего элемента объединены в схеме и обозначены Физически эта постоянная равна отношению установившегося значения скорости на выходе к действующему сигналу при условии, что последний имеет постоянное значение. Это отношение часто называется усилением по скорости. Для того чтобы в примере получить численный ответ, зададим численные значения параметров. Для следящей системы

обычное значение постоянной времени равно 0,01 сек. Частоту треугольной периодической последовательности примем равной 10 рад/сек. Кроме этого, будем измерять качество среднеквадратичным значением (с.к.з.) ошибки. В частности, для оценки точности используем отношение входного сигнала к с.к.з. ошибки.

В силу периодичности входного сигнала единственным путем для вычисления с.к.з. ошибки является разложение ошибки в ряд Фурье. Разлагая входной сигнал в ряд, можно определить реакцию системы в установившемся состоянии на каждый член ряда. Согласно принципу суперпозиции, сигнал на выходе будет суммой реакций системы на отдельные составляющие входного сигнала. При этом реакция на каждую составляющую входного сигнала вычисляется в предположении, что все другие составляющие отсутствуют. В комплексной форме ряд Фурье имеет вид

где — основная частота входного сигнала и — коэффициент Фурье для гармоники. Вычисляя но известной формуле коэффициенты, для нашего входного сигнала находим

Ошибку сигнала на выходе для заданного сигнала на входе также можно представить рядом Фурье

После возведения в квадрат, интегрирования и осреднения получаем следующее выражение для с.к.з. ошибки в зависимости от коэффициентов Фурье:

По определению ошибка равна разности между желаемым и действительным сигналами на выходе системы. Именно:

Желаемый и действительный сигналы на выходе системы можно

представить рядами Фурье

и

Следовательно, коэффициенты Фурье ошибки определяются формулой

Пользуясь формулой (1.3-7), выразим выходной сигнал в зависимости от входного и передаточной функции системы

Пусть передаточная функция системы при выбранных численных значениях параметров имеет вид

С другой стороны, согласно известным правилам вычисления установившегося сигнала на выходе, получаем следующие значения коэффициентов Фурье выходного сигнала:

Когда желаемый сигнал на выходе равен входному тождественно для всех моментов времени, имеем

Когда желаемый сигнал равен входному с запаздыванием то коэффициенты Фурье желаемого сигнала на выходе равны

После подстановки этих значений коэффициентов Фурье для желаемого и фактического сигналов на выходе системы в (1.5-8) получаем коэффициенты Фурье ошибки

При этом желаемый выходной сигнал равен входному для всех моментов времени. Точно так же, когда желаемый выходной сигнал равен входному, сдвинутому на время имеем

При помощи этих двух формул, а также формулы (1.5-2) для совместно с (1.5-9) для функции можно определить численные значения коэффициентов ошибки. Для определения с.к.з. ошибки эти коэффициенты нужно подставить в (1.5-4). С.к.з. входного сигнала, необходимое как нормирующий множитель для с.к.з. ошибки, можно определить по формуле, аналогичной (1.5-4), или непосредственно интегрируя и осредняя квадрат входного сигнала.

Вычисление с.к.з. ошибки в этом примере выполнено в соответствии с процедурой, описанной в предыдущем параграфе. В результате получено нормализованное с.к.з. ошибки, равное 11,3%, когда желаемый выходной сигнал должен быть равен входному для каждого «момента времени. Когда желаемый выходной сигнал должен быть равен входному, сдвинутому на 0,01 сек, то нормализованная ошибка равна 1,5%.

Дополнительные сведения об ошибке можно почерпнуть из рис. 1.5-3, на котором показаны ошибки для двух этих случаев.

Рис. 1.5-3. Ошибка системы второго порядка при входном воздействии треугольной формы: а) идеальный сигнал на выходе тождественно равен входному; б) идеальный сигнал на выходе равен входному с запаздыванием на 0,01 сек.

В данном примере требование точного воспроизведения входного сигнала привело к семикратному увеличению с.к.з. ошибки по сравнению с значением для случая небольшого запаздывания желаемого сигнала. Это доказывает, насколько существенно оказывается жесткость требований к точному воспроизведению входного сигнала.

В заключение отметим, что задача регулирования отличается от соответствующей задачи расчета фильтров и требует отдельного рассмотрения. Это различие имеет место по четырем основным пунктам.

1) Мгновенные значения желаемою сигнала на выходе часто должны быть равны соответствующим значениям входного сигнала.

Это требование к системе регулирования, как мы уже видели, является более жестким по сравнению с соответствующими требованиями при расчете фильтра, где допускается некоторое запаздывание при воспроизведении желаемого сигнала.

2) Значительная часть элементов системы может быть задана, т. е. инженер не может ими свободно распоряжаться. Некоторая свобода имеется только в выборе коррекции, которая должна использоваться с заданными элементами. В фильтрах, напротив, условия задачи редко включают в себя требования о неизменных элементах.

3) В системе регулирования возмущения могут действовать не только на входе, но и в других точках. Уменьшение влияния этих возмущений на выходной сигнал может являться основным требованием. При расчете фильтра проблема возмущения не возникает вовсе, либо ставится не так жестко.

4) В системах регулирования инженер часто имеет дело с элементами, параметры которых неточно заданы и нестабильны во времени. В частности, таковыми являются механические, гидравлические или пневматические элементы, которые используются в выходных каскадах системы регулирования, где требуется значительная мощность. При расчете фильтров, напротив, элементы электрической цепи обладают высокой точностью и стабильны во времени.

Однако в задачах регулирования и в расчетах фильтров есть много общего. Обе проблемы связаны с процессом переработки информации системой и, с другой стороны, могут требовать анализа устойчивости, так как активные фильтры получают все большее и большее распространение.