4. Некоторые определения и соотношения из теории комплексного переменного

Здесь мы напомним основные определения из теории функций комплексного переменного. Обозначим через функцию комплексной переменной Говорят, что функция в области аналитическая, если в каждой точке области она однозначна и имеет конечную производную. Поэтому если функция аналитична в точке и некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки, то в этой точке может быть разложена в ряд Тейлора.

Точки, в которых не аналитична, называются особыми. Особенности функции комплексного переменного важны, поскольку они определяют поведение функции в комплексной плоскости. Аналитическая функция без особенностей является просто постоянной величиной. В особой точке производная или не существует или зависит от способа стремления к этой точке. Существуют три типа особых точек: полюсы, существенно особые точки и точки ветвления. Особенность при называют полюсом порядка , если — наименьшее положительное целое число, такое, что произведение становится в точке а аналитической функцией. Особую точку а функции называют существенно особой, если функция однозначна, ее производная не существует и нет такого целого для которого при существует производная

Следовательно, существенную особенность можно понимать как полюс бесконечного порядка. Например, функция имеет существенную особенность в бесконечности.

Третий тип изолированных особых точек — точки ветвления, которыми обладают многозначные функции. Точка ветвления характеризуется что значение функции после обхода по замкнутому контуру в окрестности точки ветвления будет отличаться от первоначального. Можно показать, что в точке ветвления не существует производных любых порядков. Примером функции, имеющей точки ветвления, является логарифмическая функция и степенная функция где -нецелое число; в обоих случаях — целая функция, исключая постоянное число. Оба типа этих функций имеют точки ветвления при Соответствующим геометрическим построением можно определить гипотетическую поверхность, называемую поверхностью Римана, на которой функция становится однозначной. Поскольку дальнейшее обсуждение особенностей аналитических функций стоит вне рамок настоящего приложения, то за более полной информацией читатель отсылается к специальной литературе по данному предмету ([12], [23], [27]).

Однозначные аналитические функции можно классифицировать в соответствии с особенностями, которыми они обладают. Функция,

с особенностью только в бесконечной точке является аналитической всюду в конечной плоскости и называется целой функцией. Этот тип функций подразделяется далее на целые рациональные и целые трансцендентные функции, соответственно тому, является ли особенность на бесконечности полюсом конечного порядка или существенной особенностью. Целые функции допускают разложение в степенной, ряд вида

который сходится всюду в конечной части плоскости. Следовательно, целая рациональная функция имеет разложение с конечным числом членов и может быть представлена конечным полиномом от Целая трансцендентная функция содержит в своем разложении бесконечное число членов. Примерами целых трансцендентных функций являются

Другим важным и более общим классом является класс таких функций, которые однозначны и не имеют в любой конечной части плоскости других особенностей, кроме полюсов. Функции этого класса называют мероморфными. Из сказанного вытекает, что мероморфная функция является частным двух целых функций и имеет в любой конечной области конечное число полюсов. Примерами мероморфных функций могут служить где — полиномы от Если - конечные полиномы, то функция называется рациональной. Этим завершается рассмотрение классов функций.