5. Определение переходного процесса по частотной характеристике

При использовании метода ироб для определения свойств системы наиболее удобно пользоваться частотной областью. Однако многие показатели качества связаны с переходным процессом системы. Здесь рассматриваются графические методы определения переходного процесса системы по ее частотной характеристике. Хотя непосредственное вычисление обратного преобразования Лапласа является наиболее естественным методом для определения оригинала, часто эта процедура требует значительного времени из-за необходимости разложения полиномов высоких степеней на множители. Кроме того, во многих задачах приходится пользоваться частотной характеристикой, определенной экспериментально. Тогда необходимо вначале найти аналитическое приближение для экспериментальной кривой. Графические методы расчета, которые рассматриваются в этом приложении, требуют только знания частотной характеристики. Частотная характеристика может быть получена экспериментально или из теоретических

соображений. Таким образом, графический способ определения переходного процесса системы непосредственно по частотной характеристике весьма удобен. В работах [7], [20], [45] содержатся методы определения переходного процесса, соответствующего данной частотной характеристике.

Если изображение Лапласа не имеет полюсов в правой полуплоскости и на мнимой оси, то можно показать, что искомый оригинал соответствующий можно выразить при помощи одного из двух интегралов

где означает действительную часть и — мнимую часть функции Применяя последовательно операцию

к (III.5-1), получим

когда четное, и

когда нечетное.

Формулы (III.5-4) и (III.5-5) выражают функцию времени через производные от действительной части изображения. Простой приближенный способ решения (III.5-1), развитый Гиллеманом [20], основан на этих результатах. Для вычисления:

1) действительная часть функции вычерчивается в линейном масштабе и аппроксимируется прямыми линиями;

2) аппроксимирующий график дважды дифференцируется по частоте так что вторая производная представляет последовательность импульсов при положительных и отрицательных значениях частот

где весовой коэффициент при дельта-функции, расположенной в точках

3) функция времени, соответствующая изображению (III.5-6), имеет

Рассмотренный способ применим к функциям, обладающим следующими свойствами: для ведет себя, по меньшей мере как при ограничена для всех Если при стремится к постоянной, отличной от нуля, то имеет полюс первого порядка в начале координат. Тогда формула (III.5-1) определяет функцию Таким образом, полюс функции в начале координат можно исключить.

Можно записать несколько полезных соотношений, относящихся к функции Именно:

Так как расчет в частотной области с использованием плоскости усиление — фаза заканчивается получением годографа функции разомкнутой системы (рис. 1.7-1 при то во вкладке в конце книги имеются графики для определения

по годографу . В частности это графики 1 и 2. Таким образом, в завершение анализа системы в частотной области, можно определить весовую функцию системы. Для этого можно использовать графики действительной и мнимой частей при оценке интегралов (III.5-1) и {III.5-2).