§ 2.5. Нормировка

В этом параграфе рассматривается техника нормировки, которая полезна при решении практических задач. Для всех задач (кроме простейших) обычно удобнее использовать численные значения заданных параметров, нежели буквенные символы. После того как в задачу введены численные значения, желательно представить выражения в таком виде, чтобы числа входили в эти выражения как постоянные времени, т. е. в виде отношения искомых параметров системы, имеющего размерность времени. Часто оказывается, что постоянные времени, которые определяют динамические свойства системы, велики или малы по сравнению с единицей. Если значения постоянных времени сильно отличаются от единицы, то целесообразно сделать еще один шаг, а именно, изменить масштаб времени таким образом, чтобы наибольшие заданные параметры имели нормированные значения близкими к единице. Это позволяет упростить вычисления.

Часто случается, что удобнее применить нормировку к изображению, а не к самой функции времени. Таким образом, необходимо знать, как для заданной функции определить изображение Фурье, соответствующее нормированному времени, зная изображение Фурье для обычного времени. Как это сделать, становится ясным, если обратиться к определению преобразования Фурье. Пусть — изображение Фурье функции По определению это означает, что

Пусть — изображение Фурье функции относительно нормированного времени Согласно определению, имеем

Обычно вид функции с нормированным временем тот же, что и функции с истинным временем; при этом задан масштаб нормированного времени относительно истинного. Пусть соотношение между временами имеет вид

Здесь величина может иметь любую размерность, но обычно она имеет размерность времени и тогда событие, связанное с будет безразмерным. Символически соотношение между двумя функциями

записывается следующим образом:

После замены на в (2.5-1) получаем

Но, согласно (2.5-4), имеем

Пусть нормированная комплексная частота (1) связана с ненормированной (s) соотношением

На основании (2.5-6 и 7) формулу (2.5-5) можно переписать в виде

Согласно интеграл в правой части по определению есть нормированное преобразование Фурье Следовательно,

Таким образом, если необходимо найти нормированное изображение на основании обычного изображения, то необходимо пользоваться формулой

На основании предыдущего можно сказать: если в изображении функции времени заменить на — и полученный результат поделить на то получим изображение функции от переменной Оригинал, соответствующий этому изображению, является функцией Хотя этот результат был получен для изображения по Фурье, он также остается справедливым и для изображения по Лапласу. Нужно отметить, что рассмотренная выше процедура вычисления нормированного (соответствующего измененному масштабу времени) изображения неприменима к вычислению нормированной передаточной функции или весовой функции. Передаточную функцию

можно рассматривать как отношение изображений двух функций времени и, следовательно, множители появляющиеся в результате нормировки, в числителе и знаменателе сокращаются. Таким образом, формула для нормированной передаточной функции получается просто заменой на Делить это выражение на множитель не надо.

В качестве примера рассмотрим вычисление нормированного изображения для следующей функции времени:

Изображение этой функции имеет вид

Применяя формулу получим

или

Вычисляя обратное преобразование по получаем

Этот результат, очевидно, можно получить сразу из Следующий вопрос состоит в том, как вычислить на основании теоремы Парсеваля величину интегральной квадратичной ошибки, зная нормированное изображение Фурье ошибки. Напомним, что теорема Парсеваля устанавливает следующее равенство:

где I является интегральным квадратичным значением функции . В соответствии с правилом нормировки определяется формулой

Следовательно, можно записать в виде

Подставляя в (2.2-9) и заменяя на получаем

или

Отметим, что интегральное квадратичное значение всегда вычисляется для истинного времени. Из формулы (2.5-19) следует, что применение теоремы Парсеваля к нормированному изображению функции времени дает величину интеграла от квадрата этой функции, умноженной на

Определение интегрального квадратичного значения функции на основании ее нормированного изображения можно проиллюстрировать примером. Пусть фуикция имеет вид

Тогда на основании вычислений, сделанных в предыдущем примере, для ее нормированного изображения имеем

На основании (2.5-19) получаем

Используя формулу для в таблице интегралов приложения V, получаем

Этот результат можно проверить непосредственным интегрированием.