ПРИЛОЖЕНИЕ V. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

1. Вычисление определенного интеграла

В инженерных исследованиях часто встечаются интегралы вида

где

имеет нули только в левой полуплоскости. Хотя в большинстве приложений с имеет нули только в левой полуплоскости, это не важно для последующего вывода. Действительно, как будет видио из вычисления значений интегралов, знать коэффициенты не обязательно. Интегралы можно выразить через коэффициенты полинома четной степени в числителе подынтегрального выражения. Более удобно, однако, интегралы таблицы выразить через коэффициенты

Значения этих интегралов можно представить в виде рациональных функций коэффициентов таблицы интегралов до уже опубликованы [26]. Как для проверки ранее рассчитанных таблиц, так и для того, чтобы повысить их порядок, в Лаборатории

динамического анализа и регулирования было произведено вычисление интегралов, использующее метод, предложенный д-ром А. К. Хэллом. Представленные здесь таблицы включают значения от 1 до 10. Сравнение таблиц вскрыло две ошибки в интеграле седьмого порядка в таблице Джеймса, Никольса и Филлипса [26].

Ниже показано, что вычисление интеграла связано с решением системы линейных алгебраических уравнений. Установлен общий вид этих уравнений. Решение их для значений от 1 до 10 является существенной частью расчета таблицы интегралов.

Для мнимого где чертой обозначено комплексно сопряженное. Подобно этому Подынтегральное выражение тогда можно записать в виде

Это выражение всегда можно разбить на сумму двух дробей

где — полиномы степени Так как -четная функция, то можно показать, что Интеграл тогда принимает вид

После замены переменной последнее равенство приводит к результату

Значение является, таким образом, удвоенным обратным преобразованием Лапласа от рассчитанным при Так как обратное преобразование Лапласа при равно одной второй от его предела при то значение интеграла получается с помощью теоремы о начальных значениях в виде

Следовательно, вычисление этого интеграла требует расчета только одного коэффициента

Заметим, что использование свойств преобразования Лапласа для вычисления интеграла не обязательно, так как можно вычислить по вычетам подынтегрального выражения. Можно показать, что равно сумме вычетов и что этой суммой является

Рассмотрение уравнения (V.1-4) показывает, что должно удовлетворять уравнению

Подставляя выражения и найдем

Собирая члены с одинаковыми степенями получаем

где

Подобным же образом

Правую часть (V.1-8) можно записать в виде

Группируя члены, получим

где

Подставляя (V. 1-10), (V. 1-12) и (V. 1-14) в (V.1-8), находим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях получим алгебраических уравнений

Подставив (V. 1-11) в (V. 1-17), приходим к уравнениям

для величин . В матричной форме (V. 1-18) запишется в виде

где

и

Для нечетных имеет вид

Для четных имеет вид

Решая систему (V.1-18) для и используя (V.1-7), получаем