§ 5.2. Интегральное уравнение для определения весовой функции

В этом параграфе дается определение как решения некоторого интегрального уравнения. Для вывода этого интегрального уравнения надлежит выполнить следующие операции. Во-первых, квадрат ошибки выражается через весовую функцию, вход и идеальный выход. Далее выражение квадрата ошибки усредняется и при этом появляются корреляционная и взаимно-корреляционная функции. Тем самым мы получаем выражение среднего квадрата ошибки через весовую функцию корреляционную функцию входа взаимную корреляционную функцию входа и идеального выхода и корреляционную функцию идеального выхода Таким образом, мы имеем средний квадрат ошибки в виде некоторого функционала от Применение стандартных вариационных приемов, обеспечивающих минимум этого функционала, приводит к интегральному уравнению с решением которое является весовой функцией, минимизирующей средний квадрат ошибки.

Проследим шаг за шагом указанный выше путь. В соответствии с рис. 5.1-1 ошибка определяется соотношением

Возводя в квадрат обе части (5.2-1), получаем

Выразим теперь выход через весовую функцию посредством интеграла свертки

Квадрат выхода запишется так:

Различные переменные интегрирования и применены в этом уравнении для того, чтобы избежать путаницы в дальнейших выкладках. Подставляя значение из уравнения (5.2-3) и из уравнения (5.2-4) в (5.2-2), получаем

Это соотношение дает выражение квадрата ошибки через весовую функцию, вход и идеальный выход. Следующим шагом является усреднение квадрата ошибки. По определению среднего квадрата ошибки

Подставив в это уравнение квадрат ошибки из (5.2-5), получаем

Напомним определение корреляционной функции входа

Соответственно, взаимно-корреляционная функция между входом и идеальным выходом есть

а корреляционная функция идеального выхода

Переменим теперь в правой части (5.2-7) порядок интегрирования так, чтобы сначала производилось интегрирование по и предельный переход при Т, стремящемся к бесконечности, а затем интегрирование по Сделав это и приняв во внимание выражения корреляционных функций (5.2-8) - (5.2-10), можем записать средний квадрат ошибки в виде

Этим соотношением средний квадрат ошибки задается в виде функционала от весовой функции

Определим теперь весовую функцию, минимизирующую средний квадрат ошибки. При этом мы предположим, что решение нашей задачи существует, и обозначим это предполагаемое решение через Построим далее весовую функцию с помощью выражения

где — предполагаемое решение, — некоторая произвольная весовая функция. Параметр можно варьировать, чтобы проверить, будет ли решением. Если является решением, то при любом отличном от нуля, и при любой выбранной нами происходит увеличение среднего квадрата ошибки. В вариационном счислении называется вариацией При подстановке специально построенной в правую часть (5.2-11) средний квадрат ошибки становится функцией параметра . В силу способа построения средний квадрат ошибки при вариациях относительно нуля должен сохранять свое значение (для Это означает, что при равном нулю, должна быть равна нулю производная среднего квадрата ошибки по Приравнивая (при равном нулю) эту производную нулю, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое решение

Подставляя из (5.2-12) в правую часть (5.2-11) и дифференцируя по получаем

В силу свойства четности корреляционных функций стационарных сигналов

Ввиду этого 00 00

поскольку мы можем переменить порядок интегрирования и индексы переменных интегрирования в левой части. В результате этого разница между обеими частями будет заключаться только в знаках переменных корреляционной функции. Полагая

и подставляя (5.2-15) в (5.2-13), получаем 00 00

Здесь является физически реализуемой весовой функцией, но в остальном совершенно произвольна. Поскольку физически реализуема, она должна быть равна нулю для всех отрицательных При единственный способ удовлетворить (5.2-17) заключается в равенстве нулю множителя в скобках. Таким образом, приходим к условию 00

Этому условию и должна удовлетворять весовая функция системы, минимизирующая средний квадрат ошибки.

Строго говоря, удовлетворяющая (5.2-18), дает просто стационарное значение среднего квадрата ошибки, но не обязательно обеспечивает минимум. Физически ясно, что если решение вообще существует, то оно должно давать минимум, так как легко можно построить весовую функцию, при которой средний квадрат ошибки бесконечен. Тем не менее ради полноты мы покажем, рассматривая вторую производную среднего квадрата ошибки по что решение уравнения (5.2-18) дает минимум. Дифференцируя обе части (5.2-13), получаем

Рис. 5.2-1. Интерпретация соотношения (5.2-19).

Физическая интерпретация этого результата дана на рис. 5.2-1. Вторая производная среднего квадрата ошибки несколько больше значения среднего квадрата функции на выходе фильтра, которая получена пропусканием входного сигнала через систему с весовой функцией Поскольку средний квадрат этого сигнала не может быть отрицательным, то вторая производная среднего квадрата ошибки системы всегда положительна. Таким образом, мы показали, что решение уравнения (5.2-18) соответствует минимуму.

Функция которую мы должны получить, требует решения интегрального уравнения, известного как уравнение Винера — Хопфа (см. [51]). Исходное уравнение, рассмотренное Винером, имело несколько менее общую форму. К сожалению, решить интегральное уравнение обычно бывает трудно. В следующем параграфе мы приведем пример, когда решение его получается непосредственно. Позже мы дадим точное решение интегрального уравнения, пригодное для случаев, когда корреляционная функция имеет преобразование Фурье.