2. Аппроксимация фазовой характеристики, соответствующей заданной амплитудной характеристике

При определении приближенной фазовой характеристики по заданной амплитудной характеристике можно использовать соотношение между действительной и мнимой частями (VI.1-19). Это основано на идее приближения амплитудно-частотной характеристики прямолинейными отрезками, с тем, чтобы вторая производная представляла последовательность импульсов. Для амплитудной характеристики, начинающейся с нулевой частоты и оканчивающейся с нулевым наклоном при бесконечно большой частоте, наиболее эффективно выражение второй производной при помощи групп из двух импульсов. Каждая группа состоит из положительного импульса в начале координат и отрицательного импульса при частоте Таким образом, вторую производную амплитудной характеристики можно выразить так:

Поскольку мы производим интегрирование по положительным частотам, необходимо принять во внимание только положительные Подставим теперь приближенное выражение второй производной

амплитудной характеристики (VI.2-1) в (VI. 1-19). Выполнив интегрирование, получим

Этот результат легко приводится к виду

где

На рис. VI.2-1 дан график функции Ф при положительных Необходимо принять во внимание только положительные значения поскольку Ф является нечетной функцией

Рис. VI.2-1. График

С помощью этой функции аппроксимация фазовой характеристики при определенных частотах легко находится согласно (VI.2-3) в виде суммы чисел. Эти числа определяются с помощью кусочно-линейной аппроксимации амплитудной характеристики.

Проиллюстрируем теперь ступенчатую аппроксимацию, имеющую место в (VI.2-3), на примере цепи, имеющей предаточную функцию

Точные амплитудная и фазовая характеристики этой передаточной функции показаны на рис. VI.2-2 в виде сплошных кривых. На основе кусочно-линейного приближения амплитудной характеристики были подсчитаны точки приближенной фазовой характеристики, обозначенные крестиками. Степень совпадения могла бы быть повышена путем использования большего числа линейных отрезков при аппроксимации амплитудной характеристики.

Рис. VI.2-2. Приближенная и точная фазовые характеристики функции

Для подсчета по формуле (VI.2-3) точек фазовой характеристики, указанных на рис. VI.2-2, были использованы только четыре угла. Вообще в (VI.2-3) каждому углу кусочно-линейной аппроксимации соответствует один член.

Следует заметить, что для получения в (VI.2-3) используется кусочно-линейная аппроксимация амплитудной характеристики, полученной экспериментально. Поскольку мы не имеем выражения, подобного (VI.2-3) в замкнутой форме, то строится график амплитудной характеристики в логарифмической шкале частот. Следует также заметить, что способ, заложенный в (VI.2-3), неприменим, когда амплитудная характеристика в нуле и при высоких частотах имеет наклоны, отличные от нулевого. Однако эти ограничения

обычно не представляют больших затруднений. Фазовая характеристика того множителя передаточной функции, амплитудная характеристика которого не имеет нулевого наклона в начале и конце, обычно лего рассчитывается отдельно. Сложение этой фазовой характеристики с той, которая подсчитывается для другого множителя с помощью (VI.2-3), дает полную фазовую характеристику.

В заключение мы хотим указать на то, что практическое применение указанного способа расчета фазовой характеристики по заданной амплитудной характеристике позволяет установить, является ли экспериментально определенная передаточная функция минимальнофазовой. Заданные элементы многих систем регулирования могут быть описаны только при помощи экспериментальных данных. Из главы 6 известно, что если заданные элементы — не минимальнофазовые, то возможность реализации систем значительно суживается. Сравнивая действительную фазовую характеристику с характеристикой, рассчитанной на основе предположения о минимально-фазовом характере заданных элементов, легко определить, в какой мере эти элементы не минимально-фазовые.