§ 2.6. Учет ограничений

Схема следящей системы, полученная при минимизации некоторого показателя качества системы, может быть неудовлетворительной в практике из-за отклонения от линейности при больших значениях сигнала. Теория синтеза систем, развитая в этой книге, применима к линейной математической модели. Достоверность этой

теории определяется тем, насколько хорошо соответствует математическая модель рассматриваемой физической системе. Если при весьма точных вычислениях экстремума показателя качества системы окажется, что сигналы в неизменных элементах системы имеют такие пиковые значения, что математическая модель не дает уже достаточно хорошего приближения, то применимость рассмотренной теории окажется ограниченной. В этом параграфе рассматривается способ, позволяющий использовать математическую модель при наличии насыщения. Этот способ состоит в том, чтобы в какой-то мере изменять уровень сигнала за счет использования ограничения при отыскании экстремума показателя качества системы.

Для иллюстрации эффекта насыщения в физической системе, рассчитанной в линейном приближении без учета пиковых значений сигнала, возвратимся к примеру § 2.3. Там мы установили, что задача минимизации интегральной квадратичной ошибки для системы второго порядка и для единичной входной функции, приводит к очень большим коэффициентам усиления. Если учесть влияние больших коэффициентов усиления на пиковую величину момента сервомотора, то сразу появляются трудности. Поскольку в этой системе отсутствует момент нагрузки, то момент мотора используется исключительно для ускорения инерционных выходных звеньев. Следовательно, необходимое пиковое значение момента сервцмотора пропорционально пиковому значению ускорения на выходе. На рис. 2.3-1 показано, как ошибка становится все более колебательной по мере того, как коэффициент усиления по скорости возрастает. Из этого рисунка следует, что пиковое значение ускорения становится все больше и больше по мере увеличения усиления. Выходной сигнал (хотя он и не изображен на этом рисунке) легко себе представить как разность между входом и ошибкой. Если сделать усиление достаточно большим, то пиковое значение ускорения сигнала на выходе линейной модели превзойдет уровень, которого можно достигнуть в сервомоторе реальной системы. С этой точки зрения линейная модель перестает быть законной основой для расчета. Таким образом, либо необходимо применять нелинейную математическую модель, либо нужно изменить метод расчета, основанный на линейной теории так, чтобы он давал возможность учитывать насыщение.

Чтобы избежать насыщения в системе, находящейся под воздействием сигнала, зависящего от времени, необходимо ограничить пиковые значения сигналов в линейной модели, для которых имеет место насыщение в физической модели. Учет ограничения пикового значения сигнала требует его выражения как функции параметров, системы. Тогда, изменяя параметры системы, принципиально можно добиться, чтобы пиковое значение оставалось в заданных пределах, в то время как интегральная квадратичная ошибка была минимальной. Однако практически неудобно выражать пиковое значение

сигнала как функцию параметров системы, исключая системы первого и второго порядков. Для систем высокого порядка нахождение корней характеристического уравнения делает определение сигнала на выходе либо громоздким, либо невозможным. Можно использовать численные методы, которые требуют задания значений всех параметров системы. Таким образом, для систем высокого порядка невозможно выразить пиковое значение сигнала на выходе в функции параметров системы. Следовательно, в системах высокого порядка необходимо регулировать косвенными методами пиковое значение сигнала при насыщении. Часто интегральное квадратичное значение сигнала, соответствующего насыщению, можно выразить как функцию параметров системы. Тогда можно ограничить интегральное квадратичное значение сигнала при условии минимума интегральной квадратичной ошибки. Если, ограничивая интегральное квадратичное значение сигнала, удастся в некоторой степени ограничить его пиковое значение, то тогда появляется возможность учета насыщения. Так как большим интегральным квадратичным значениям сигнала соответствует больший вес, то интуитивно ясно, что при помощи такого метода будет достигнут некоторый контроль пикового значения. Возникает вопрос, как сильно зависит этот контроль от природы системы и рассматриваемого сигнала. В некоторых системах такой контроль отсутствует, в других может быть получена вполне удовлетворительная степень контроля.

Далее будет показано, что можно получить практическую выгоду, минимизируя интегральную квадратичную ошибку при условии ограничения, налагаемого на один или несколько сигналов, точнее на предельную величину интегрального квадратичного значения этих сигналов.

Теперь обратим внимание на процедуру минимизации при наличии ограничений. Прямой метод состоит в том, чтобы выразить интегральную квадратичную ошибку и интегральное квадратичное значение сигнала при наличии насыщения как функцию параметров системы. Ограничения, связанные с насыщенным сигналом, сводятся к тому, что интегральное квадратичное значение как функция параметров должно быть меньше некоторого числа или равно ему. Если выбирать параметры системы только из условия минимума интегральной квадратичной ошибки без учета этих ограничений, то это, вероятно, приведет к выходу некоторых параметров за заданные пределы. Если сосредоточить внимание на основных ограничениях, то можно выразить ряд параметров, число которых равно числу ограничений, через оставшиеся параметры. Таким образом, эффект ограничений сводится к выбору ряда параметров (но не всех заданных) из условия минимума интегральной квадратичной ошибки.

В действительности исключение ряда параметров при помощи соотношений, связанных с ограничениями, может быть невыгодным

или даже невозможным из-за сложной зависимости от них интегрального квадратичного значения. Если это имеет место, следует выбирать параметры методом проб так, чтобы выполнялись ограничения и в то же время интегральная квадратичная ошибка была минимальна. В большинстве практических задач имеется всего несколько регулируемых параметров, обычно не более трех. Считая один из трех параметров переменным, можно начертить интегральную квадратичную ошибку как функцию этой переменной для различных значений двух других параметров. Подобные кривые могут быть получены также для интегрального квадратичного значения насыщенного сигнала. Тогда сравнительно просто определить необходимую комбинацию значений параметров, удовлетворяющих ограничениям. Методом проб можно проверить различные комбинации значений параметров по кривым интегрального квадратичного значения сигнала для того, чтобы определить те, которые дают минимум.

Более совершенным методом решения задачи о минимуме интегральной квадратичной ошибки при сложных уравнениях, связанных с ограничениями (когда эти уравнения нельзя просто использовать для исключения параметров), является метод Лагранжа. К сожалению, этот метод обычно имеет небольшие преимущества по сравнению с методом проб. Однако в некоторых случаях он оказывается полезным при рассмотрении систем с заданной структурой, а также он нам будет необходим при исследовании систем, полностью свободных от каких-либо ограничений, и систем с ограничениями, наложенными на ее структуру. Рассмотрим этот метод применительно к перечисленным задачам.

Метод Лагранжа для отыскания минимума функции при дополнительных условиях рассматривался в учебниках по вычислительной технике и прикладной математике (см., например, [16], [24]). Задача, рассмотренная Лагранжем, заключается в следующем. Пусть необходимо найти максимум или минимум функции при дополнительном условии Тогда, согласно методу Лагранжа, искомые значения могут быть определены условия минимума или максимума сложной функции где постоянная, называемая множителем Лагранжа. После определения минимума или максимума функции мы получаем переменные как функции множителя Лагранжа Таким образом, можно выбрать так, чтобы удовлетворить дополнительному условию. Эта положительная сторона метода Лагранжа не требует для исключения параметров решения уравнений, связанных с ограничениями. Метод может быть распространен на любое число ограничений простым добавлением членов к функции Таким образом, для определения переменных необходимо найти экстремум функции где Р — множители Лагранжа и -функции, связанные с дополнительными ограничениями.

Простым примером применения метода Лагранжа является задача о минимуме площади поверхности круглого прямого цилиндра при заданном объеме . Объем прямого круглого цилиндра определяется формулой

— радиус основания, — высота), а площадь поверхности

Применяя метод Лагранжа минимизации функции, находим

Используя формулы (2.6-1) и (2.6-2), для функции можно записать следующее выражение:

Для того чтобы определить значения переменных, при которых эта фуикция имеет минимум, необходимо вычислить частные производные по и приравнять их нулю

Из второго уравнения получаем два значения радиуса: . Очевидно, следует использовать второе значение. Подставляя это значение в (2.6-5) и решая его относительно получаем . Подставляя как функции получаем

Используя значения и формулу (2. 6-2), получаем минимальную площадь поверхности цилиндра

Вывод о том, что для минимальной поверхности цилиндра радиус должен быть равен половине высоты, хорошо известен и получается обычно более простым путем во вводных курсах анализа.

Рассмотрим применение метода Лагранжа для случая трех независимых переменных Определим значения х, у и при которых функция стационарна при дополнительном ограничении Функция, стационарная в некоторой точке, имеет частные производные в этой точке, равные нулю. Сама

точка называется стационарной и может быть точкой максимума, точкой минимума или седлом. Для исследования стационарной точки можно считать переменные функциями другой переменной е. Тогда в стационарной точке функция удовлетворяет условию

Вследствие того, что функция должна быть постоянной, дополнительно имеется условие

Эти производные могут быть записаны в виде

Так как производная по от должна быть равна нулю, то, решая (2.6-12) относительно получим

Согласно последнему равенству, мы не можем свободно распоряжаться выбором х, у как функций . Так как частные производные функции по заданы, то производная х по будет определена, как только будут заданы функции у и z от е. Это отражает тот факт, что в действительности при решении задачи о минимуме имеется всего лишь две степени свободы, так как уравнение ограничения дает дополнительную связь одной из переменных с двумя другими. После подстановки (2. 6-13) в (2. 6-11) получаем

Так как у и z являются произвольными функциями то производные и являются также произвольными. Условие стационарности (2.6-9) имеет место, когда величины, стоящие в квадратных скобках (2.6-14), равны нулю. Однако в стационарной точке частные производные и по х имеют вполне определенные значения и их отношение является некоторым числом. Это число, конечно,

неизвестно до решения. Заслуга Лагранжа заключается в том, что он показал, как можно упростить решение задачи, если использовать постоянство этого отношения в малой окрестности стационарной точки. Это отношение называется множителем Лагранжа. Обозначим его через Используя можно записать условия равенства нулю множителей в квадратных скобках:

На основании определения множителя Лагранжа как отношения частных производных функций и по х, взятого со знаком минус, имеем

Уравнения (2.6-15), (2.6-16) и (2.6-17) определяют значения х, у и соответствующие стационарной точке как функции неизвестного множителя Подставляя определенные х, у и z в выражения для и приравнивая заданной величине, получим значение

Выясним теперь смысл уравнений (2.6-15), (2.6-16) и (2.6-17), определяющих стационарную точку. Точно такие уравнения получаются, если искать стационарную точку для функции без ограничений. Таким образом, метод Лагранжа позволяет свести задачу экстремума с ограничениями к задаче экстремума без ограничений. Хотя рассмотренная выше задача относится к функции трех переменных при одном ограничении, метод можно распространить на функции любого числа переменных и любое число ограничений. Дополнительные ограничения приводят лишь к дополнительным членам Дополнительные переменные приводят к увеличению числа уравнений, полученных вычислением частных производных.