3. Критерий устойчивости Рауса — Гурвица

Метод Рауса — Гурвица позволяет в полиномах конечной степени с действительными коэффициентами определить число нулей с положительными и с нулевыми действительными частями. Методы Рауса и Гурвица, хотя они и созданы независимо, приводят к идентичным результатам. Поэтому здесь излагается лишь критерий Рауса.

Для применения критерия Рауса к определению устойчивости передаточная функция полной системы должна быть представлена в виде дроби, имеющей в числителе и знаменателе полиномы от s. Устойчивость системы зависит от расположения нулей знаменателя. Нули с положительной действительной частью соответствуют неустойчивой системе, а нули, имеющие нулевую действительную часть, соответствуют системе с устойчивыми колебаниями. Полином знаменателя в общем случае будет иметь вид

а его нули находятся из решения уравнения

Следуя Раусу, сначала коэффициенты записываются в виде таблицы:

Коэффициенты последующих строк определяются через коэффициенты двух предыдущих так:

Новые строки добавляются в таблицу (II.3-3) таким же образом вплоть до строки. Коэффициенты любой строки можно умножать и делить на любое конечное положительное число без изменения общего характера таблицы.

Когда таблица полностью определена, то число нулей с положительными действительными частями определяется по числу перемен знаков коэффициентов в первом столбце таблицы. Могут возникнуть два случая, требующие специального рассмотрения. Первый случай возникает, когда некоторый элемент первого столбца любой строки равен нулю, по крайней мере при одном из остальных элементов этой строки, существенно отличном от нуля. Расчет коэффициентов последующей строки указанным способом привел бы в результате к бесконечным коэффициентам. Чтобы избежать этого, нуль в первом столбце заменяется произвольным малым действительным числом з, и расчеты продолжаются. Число перемен знаков коэффициентов первого столбца не зависит от выбора того или другого малого положительного или отрицательного числа

Второй случай возникает, когда все коэффициенты второй или любой следующей строки равны нулю. Это указывает на существование пар корней, лежащих радиально противоположно и на равном расстоянии от начала координат. В этом случае следует взять коэффициенты последней ненулевой строки в качестве коэффициентов вспомогательного полинома от порядка где — порядок исходного полинома, номер последней ненулевой строки. Строка с индексом образуется тогда из коэффициентов производной по полинома от Расчет строк продолжается обычным образом. Число перемен знаков у коэффициентов первого столбца указывает число нулей с положительными действительными частями. Если существуют пары нулей с нулевыми действительными частями, то они являются нулями вспомогательного полинома.

Применяя критерий Рауса к полиному замечаем, во-первых, что наличие нулевых коэффициентов при некоторых членах непосредственно указывает на существование нулей с положительными действительными частями. Следовательно, необходимое требование к полиному, обеспечивающее наличие только отрицательных действительных частей его нулей состоит в том, чтобы все коэффициенты были одного знака и чтобы присутствовали все члены с промежуточными степенями

Для полиномов третьего и четвертого порядков требования устойчивости имеют наиболее простой вид и перечислены ниже. Для кубического уравнения вида

требования отсутствия корней в правой полуплоскости состоят в следующем:

1) все коэффициенты одного знака и не равны нулю;

Для уравнения четвертой степени вида

корни в правой полуплоскости будут отсутствовать тогда, когда

1) все коэффициенты имеют один знак и не равны нулю;

Проверка этих требований предоставлена читателю в качестве упражнения. Для иллюстрации применения критерия Рауса приводятся два примера.

Дан полином

и мы хотим узнать, имеет ли он нули с положительными действительными частями. Чтобы сделать это, выпишем таблицу коэффициентов

Третья строка коэффициентов дается формулами

которые после деления на 18, с целью получить малые числа, переходят в

Подсчет четвертой строки коэффициентов дает

и после деления на 40

Тогда таблица примет вид

Расчет следующей строки дает все нулн и, следовательно, указывает на наличие пар корней, радиально противоположных относительно начала. Вспомогательный полином образуется из четвертой строки

Нули этого полинома расположены в и являются, следовательно, парой корней с нулевыми действительными частями. Пятый ряд коэффициентов таблицы образуется из коэффициентов производной от вспомогательного полинома: 2 и 0.

Полная таблица коэффициентов имеет вид

Имеются две перемены знака в первом столбце, указывающие на два нуля полинома с положительными действительными частями. Данный полином разлагается на множители

Таким образом можно проверить результат, полученный по критерию Рауса.

В качестве второго примера на применение критерия Рауса к частным задачам выберем систему с заданным элементом (11.2-17), и с корректирующим звеном (11.2-20). Следовательно,

Желательно найти пределы изменения при устойчивой работе. Критерий Рауса может применяться только к конечным полиномам от Следовательно, мы должны аппроксимировать функцию временной задержки полиномом. Выберем в качестве первого приближения

Тогда передаточная функция разомкнутой системы

Передаточная функция замкнутой системы определится теперь с помощью (11.2-12):

Знаменатель является кубическим, и следовательно, критерий устойчивости дается соотношениями (11.3-6), где

Пределы допустимых изменений коэффициента усиления находятся с помощью простых алгебраических вычислений:

Этот приближенный результат сравнительно близок к точному результату, приведенному в (11.2-21), а именно

но был получен без особых усилий.

Если выбранное приближение для функции временной задержки

то полином в знаменателе будет уже четвертой степени, и конечный результат, полученный путем применения соотношения (II.3-8), примет следующий вид:

что опять хорошо согласуется с точным результатом.

Таким образом, пределы допустимого изменения коэффициента усиления при устойчивой работе системы, путем применения аппроксимации трансцендентного члена подходящим полиномом, определяются весьма просто. Однако результат применения критерия Рауса мало что дает для определения степени устойчивости системы. Этот результат дает только ответ, «устойчива» система или «неустойчива».