§ 4.3. Дополнительные соотношения между функциями спектральных плотностей

В предыдущем параграфе были установлены два фундаментальных соотношения между спектральными плотностями входного и выходного сигналов. Здесь мы дополним основные соотношения тремя дополнительными соотношениями, которые будут использованы впоследствии.

Во-первых, рассмотрим результат перестановки индексов у взаимной спектральной плотности. Напомним, согласно главе 3, что взаимно-корреляционные функции связаны следующим образом:

Цифровые индексы употребляются здесь для обозначения сигналов. Применяя преобразование Фурье к обеим частям этого уравнения и разделив на получим соотношение между взаимными спектральными плотностями. Выполняя эту операцию над правой частью,

лравой частью, получим

тде - взаимная спектральная плотность, соответствующая . Это легко получается заменой переменной интегрирования в преобразовании Фурье на Мы поэтому приходим к выводу, что соотношение между взаимными спектральными плотностями, соответствующее уравнению (4.3-1) для взаимно-корреляционных функций, будет

Таким образом, перестановку индексов у взаимной спектральной плотности можно скомпенсировать изменением знака комплексного аргумента.

Рис. 4.3-1. Сигналы в двух системах.

Далее определим связь взаимной спектральной плотности на выходах двух отдельных линейных систем со спектрами, характеризующими входные сигналы. Рассматриваемая ситуация иллюстрируется рис. 4.3-1, где показаны все обозначения. Взаимно-корреляционная функция выходных сигналов

Выход системы 1 выражается через ее вход следующим образом:

а выход системы 11

Подставляя эти выражения выходов систем в (4.3-4), получим

Меняя порядок интегрирования и предельного перехода так, чтобы сначала производилось интегрирование по переходя к пределу при и учитывая определение взаимно-корреляционной функции входных сигналов, получим

Используя обе стороны этого выражения для написания преобразования Фурье, находим

где — предаточные функции соответственно системы I и системы II. Это соотношение между взаимными спектральными плотностями является важным, поскольку с его помощью могут быть получены другие соотношения. Выражение (4.2-5), например, можно получить, сделав обе системы идентичными и положив входы равными друг другу. Уравнение (4.2-16) можно получить, задавая одинаковые входные сигналы и предполагая, что первая система имеет передаточную функцию, равную единице.

Определим теперь спектральные плотности суммы или разности выходов двух различных линейных систем. Пусть сумма (или разность) выходных сигналов на рис. 4.3-1 есть Тогда

Корреляционная функция этого сигнала будет

Это выражение можно записать так:

или в развернутом виде

Подставляя соответствующие корреляционные функции, имеем

После преобразования Фурье это уравнение принимает вид

Согласно уравнению (4.2-5),

Уравнение (4.3-9) дает выражение для . Функция выражается через по уравнению (4.3-3) и может быть записана так:

Следовательно, спектральную плотность суммы или разности выходных сигналов можно выразить так:

Это соотношение позволяет определить спектр суммы или разности двух выходных сигналов через входные спектры и передаточные функции систем. В следующем параграфе мы применим эти результаты к расчету спектральной плотности ошибки, имеющей место в системе регулирования.