ПРИЛОЖЕНИЕ I. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА

Данное приложение касается, во-первых, обоснования преобразования Фурье. Приводятся условия, которым должна удовлетворять преобразуемая по Фурье функция Рассуждения распространяются на специальный случай преобразования Фурье — преобразование Лапласа. Дано (в виде таблицы) перечисление некоторых свойств преобразований Фурье и Лапласа. Рассмотрено обратное преобразование на основе применения теории вычетов. Для иллюстрации приложений обратного преобразования, а также выявления основных ограничений в теории преобразований Фурье и Лапласа, приводится несколько примеров. Наконец, класс преобразуемых по Фурье функций, путем применения множителя, улучшающего сходимость, распространяется на функции единичного скачка и степенные. Рассмотрены ограничения при использовании множителя, улучшающего сходимость.

1. Преобразование Фурье; вводные замечания

Пара преобразований Фурье, применяемая в данной книге, определяется соотношениями

где Доказательство того, что выполнение интегральных операций, определяемых соотношениями (1.1-1) и (1.1-2), приводит к исходной функции представляется очевидным. Подставив функцию (1.1-1) в (1.1-2) и заменяя в (1.1-2) t на х, приходим

в результате к теореме о преобразовании Фурье

Условиями, налагаемыми на для того, чтобы она была преобразуема по Фурье, являются так называемые условия Дирихле 1—3 для любого конечного интервала и условие сходимости 4:

1) функция может иметь только конечное число разрывов;

2) функция может иметь только конечное число точек, в которых она обращается в бесконечность;

3) функция может иметь только конечное число максимумов и минимумов;

4) интеграл должен быть сходящимся.

Предполагая, что этим условиям удовлетворяет, мы должны теперь доказать, что функция получаемая согласно действительно совпадает с Чтобы сделать это, введем сначала новую функцию

которая в пределе при стремится к

Но в интеграле по и поэтому

и

Следовательно, при подстановке и перемене порядка интегрирования (1.1-4) переходит в соотношение

Интегрирование по в правой части выполняется с помощью следующего разбиения интеграла:

Интегрируя, находим, что

и приводя к общему знаменателю члены в квадратных скобках, приходим к результату

Член в скобках в правой части имеет вид, показанный на рис. 1.1-1. При , стремящемся к нулю, эта функция становится бесконечной при и нулем при всех других . Ее поведение очень сходно с поведением импульсной функции.

Рис. 1.1-1. Поведение функции при уменьшении

Следовательно, произведение на член, содержащий при стремящемся к нулю, может быть отлично от нуля только для Это позволяет нам написать

прири очень малых Интеграл в правой части легко вычисляется с помощью подстановки

имеем

а тогда

Но

поэтому

и, таким образом,

откуда

и следовательно, теорема, выраженная соотношением (1.1-3), подтверждена. Доказательство, использующее подобные же аргументы, впервые было проведено Коши.