2. Критерий устойчивости Найквиста

Важная теорема из теории функций комплексного переменного устанавливает: пусть функция однозначна внутри односвязного контура С и, кроме того, однозначна и аналитична на этом контуре. Если не равна нулю на С и если внутри контура С может быть лишь конечное число особых точек (полюсов), то

где -число нулей, а — число полюсов внутри С, каждый из которых учтен соответственно его кратности.

Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы Коши о вычетах, которая устанавливает, что

Заменим на и заметим, что особенности сохраняются как в нулях, так и в полюсах Тогда вычеты, найденные в этих особых точках, будут равны кратностям особых точек с положительным знаком в нулях и отрицательным знаком в полюсах Сформулированная выше теорема теперь очевидна.

Соотношение (11.2-1) можно также записать в виде

Так как на контуре С будет в общем иметь как действительную, так и мнимую части, то ее логарифм запишется в виде

При условии, что на границе С нигде не обращается в нуль, интегрирование в (II.2-3) дает непосредственно

где обозначают произвольное начало и конец замкнутою контура С. Следовательно,

Комбинируя результаты (II.2-1) и (II.2-7), находим, что произведение на полное изменение угла (полное обращение вокруг начала координат) когда обегает контур С, равно разности между нулями и полюсами внутри контура С.

Если - полное число оборотов вокруг начала при обегающем С, то можно написать

причем контур С обходится в направлении, соответствующем возрастанию положительного угла, и оборот называется положительным, если он происходит также в направлении, соответствующем возрастанию положительного угла.

Рис. II.2-1. Замкнутый контур, охватывающий конечную часть правой полуплоскости.

Теперь эти результаты можно приложить непосредственно к задаче об определении устойчивости. Мы желаем знать, имеет ли знаменатель передаточной функции нули в правой полуплоскости.

Следовательно, контур С выбран так, чтобы полностью охватывать правую полуплоскость. Этот контур показан на рис. где большая полуокружность, охватывающая правую полуплоскость, задана соотношениями

при стремящемся в пределе к бесконечности.

Предположим, что записывается как

где целая функция от и что не имеют общих множителей. Построим далее диаграмму в комплексной плоскости, изменяя значения вдоль контура С. Эта диаграмма даст нам некоторый замкнутый контур. В общем случае будет целой функцией полиномиального вида, которая, очевидно, не имеет полюсов в конечной части плоскости. Если трансцендентна, то число Р полюсов в конечной части правой полуплоскости подлежит определению. Зная Р и определяя по диаграмме когда пробегает С, мы можем теперь определить, согласно уравнению (II.2-8), число нулей в правой полуплоскости

Рис. II.2-2. Простая одноконтурная система регулирования.

Чтобы система была устойчивой, должно быть равно нулю. Следовательно, применение этого критерия включает два этапа: первый --определение полюсов в правой полуплоскости, и второй — построение диаграммы когда пробегает С. Первый этап выполняется обычно весьма просто. Второй — может представлять значительные трудности, особенно если третьего или более высокого порядка и если содержит трансцендентные члены.

Для системы регулирования с обратной связью, показанной в общем виде на рис. сложность составления диаграммы можно заметно уменьшить, если использовать передаточную функцию разомкнутой системы. Передаточная функция замкнутой системы связана с передаточной функцией разомкнутой системы соотношением

где могут иметь как полюсы, так и нули. В задаче об устойчивости желательно знать, имеет ли полюсы в правой полуплоскости. Это эквивалентно нахождению в правой полуплоскости нулей функции или нахождению в правой полуплоскости, сдвинутой на —1, нулей функции Чтобы пояснить эффект, происходящий за счет изменения коэффициента усиления разомкнутой системы, и в то же время свести к минимуму работу по построению диаграммы Найквиста, перепишем знаменатель выражения (II.2-12) в виде где К — коэффициент усиления разомкнутой системы. Теперь полюсы идентичны нулям относительно

Чтобы применить критерий Найквиста, вычертим сначала при пробегающем контур С, который охватывает

всю правую полуплоскость. После этого подсчитаем полное число оборотов при том же перемещении вокруг точки Изменение коэффициента усиления К меняет только положение точки и не оказывает воздействия на расположение [-Число полюсов Р функции в ППП определяется непосредственно по самой функции, если она имеет вид произведения простых сомножителей, или путем более трудного расчета, если она имеет полиномиальную или трансцендентную форму. Устойчивость системы определяется тогда непосредственным применением уравнения (II.2-8), которое устанавливает

Следовательно, система устойчива только в том случае, если равно нулю, где теперь число нулей знаменателя (II.2-12) в

Рис. II.2-3. Две возможные модификации контуров с обходом полюсов на мнимой оси.

При применении критерия в этой форме следует обратить внимание на выбор контура С, охватывающего правую полуплоскость. Соотношение (11.2-1), а следовательно, и (11.2-13) требуют отсутствия особенностей отображаемой функции на контуре С. Часты случаи, когда имеет полюс в начале координат или даже несколько пар комплексно сопряженных полюсов на мнимой оси. Чтобы рассмотреть эти специальные случаи, конгур С модифицируется при помощи обходов каждой из особенностей по очень малым полуокружностям, как показано на рис. II.2-3. Если особенности являются полюсами, то модифицированный контур С может проходить либо справа, либо слева от них, как показано на рис. II.2-3,а и II.2-3,б соответственно. Если особенность не является полюсом, то контур должен проходить всегда справа от нее, так как соотношение (II.2-1) допускает внутри контура С только такие особенности, как полюсы. Те полюсы на мнимой оси, которые обходятся слева, лежат при этом внутри контура С и, следовательно, должны быть учтены в Р. В этом случае контур С в ближайшей окрестности особой точки выбирается обычно в виде

где угол изменяется от до в пределе стремится к нулю.

Годограф при пробегающем контур С, состоит в основном из четырех частей. Годограф при

исключая окрестности особенностей на мнимой оси, является просто частотной характеристикой разомкнутой системы. Следовательно, годограф при может быть получен путем отображения его при относительно действительной оси. Когда пробегает бесконечную полуокружность, значение для всех физически осуществимых систем равно нулю или, самое большее, конечной постоянной величине. Наконец, годограф при пробегающем малые полуокружности в окрестности полюсов на мнимой оси, определяется непосредственной подстановкой в эту функцию выражения (II.2-14). Таким образом, отображение контура С на плоскость функции завершено.

При применении критерия в этой форме характер ограничений, наложенных на становится очевидным. Во-первых, может иметь в правой полуплоскости лишь конечное число особенностей типа полюс. Во-вторых, может иметь лишь конечное число особенностей (полюсов или точек ветвления) на мнимой оси. Класс функций можно расширить, чтобы включить функции, имеющие точки ветвления, если только точки ветвления лежат в левой полуплоскости и если используется главное значение функции. В-третьих, существенные особенности вида в числителе допустимы, поскольку абсолютное значение этой функции, когда изменяется в пределах правой полуплоскости, заключено между и 0.

Применение критерия Найквиста целесообразно показать на примере. Пусть регулируемая система с обратной связью определена соотношениями

Передаточная функция заданных элементов соответствует двухфазному индукционному мотору, работающему на частоте , от однополупериодного магнитного усилителя. Наличие отрицательного затухания связано с низким сопротивлением ротора. Возникает первый вопрос: можно ли заданные элементы стабилизировать только за счет коэффициента усиления? Положим, следовательно,

Передаточная функция разомкнутой системы принимает вид

Мы видим, во-первых, что имеет только один полюс в правой полуплоскости и этот полюс находится в точке Примерная диаграмма при пробегающем контур С, изображенный на рис. II.2-4, а, приведена на рис. II.2-4, б и показывает, что при выбранном коэффициенте усиления вокруг точки существует один положительный оборот.

Рис. II.2-4. Примеры диаграмм Найквиста.

Следовательно, с помощью критерия Найквиста, выраженного уравнением (II.2-13), приходим к результату

Увеличение К создает возможность большего числа положительных оборотов вследствие спиральной природы части диаграммы, обусловленной множителем мы можем, следовательно, заключить, что система неустойчива при всех положительных значениях К.

При отрицательных значениях К мы можем либо повернуть нашу диаграмму относительно начала и рассмотреть обороты вокруг точки либо использовать существующую диаграмму и рассмотреть обороты вокруг точки Последний способ проще; он непосредственно показывает, что, как минимум, положительные обороты вокруг отсутствуют. Это дает по крайней мере один нуль в правой полуплоскости при отрицательных значениях К. Поэтому мы приходим к выводу, что система неустойчива при всех значениях К, как положительных, так и отрицательных, и следовательно, чтобы сделать систему устойчивой, требуется некоторая коррекция.

Если мы выберем теперь корректирующее звено в виде

то диаграмма при пробегающем контур С, изменяется, как показано на рис. II.2-4, в. Звено включено так, что поведение его фазы вызывает пересечение годографом третьего квадранта. Таким образом, возникает возможность как положительных, так и отрицательных оборотов. Возможные области расположения точки обозначены через и с.

Таблица II.2-1

Чтобы система была устойчивой, точка как показывает таблица II.2-1, должна лежать в области Найдено, что эта область соответствует коэффициентам усиления в пределах

Таким образом, в данной задаче критерий Найквиста не только позволил определить устойчивость системы, но и выявил тот тип коррекции, который требуется, чтобы неустойчивую систему сделать устойчивой. Степень устойчивости (приложение III) также можно определить по частотной характеристике разомкнутой системы простым построением, показанным на рис. II.2-5. Частотная характеристика разомкнутой системы получена делением вектора представляющего собой на вектор соответствующий что дает Следовательно, чем ближе проходит годограф системы к точке тем большим будет ее резонансный пик.

Рис. II.2-5. Соотношения между векторами на годографе разомкнутой системы.

Критерий Найквиста можно применять также тогда, когда частотная характеристика разомкнутой системы построена по экспериментальным данным. Передаточная функция разомкнутой системы должна быть в таком случае устойчивой и, следовательно, не может иметь полюсов в правой полуплоскости, т. е. . Чтобы правильно построить годограф Найквиста, следует позаботиться о точном определении поведения системы при очень низких частотах.

При применении критерия Найквиста к многоконтурным системам построение начинается с самой внутренней петли и продолжается к внешним петлям при тщательном подсчете числа полюсов в ППП от каждой отдельной петли. Труд, вкладываемый в этот метод, часто можно сократить, уничтожая некоторые контуры в результате преобразования блок-схемы. Выбор последовательности построения годографа для многоконтурных систем зависит от структурной схемы, а также от расположения заданных и корректирующих элементов в контурах.