ГЛАВА 9. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

§ 9.1. Как аналитический метод применяется к практическим задачам

В предыдущих главах были даны основные элементы аналитической теории, необходимые для расчета систем с обратной связью. Такой подход мы называли аналитическим методом расчета. При помощи этого метода мы двигаемся непосредственно от условий задачи к определению корректирующего звена системы, которое обеспечивает минимум (или максимум) выбранного показателя качества. Вычисление этого показателя при выбранной коррекции сразу показывает, можно выполнить условия, наложенные на систему, или нет. Это свойство аналитического метода является одним из основных преимуществ по сравнению с методом проб.

Другое преимущество аналитического метода состоит в том, что он выявляет особые свойства линейных систем, которые неизбежно накладывают ограничения на все характеристики. В главе 6 мы видели, что неминимально-фазовые заданные элементы ограничивают свойства системы. Влияние ограниченной области линейности сигналов в заданных элементах исследовалось в главе 7. Было показано, что работа заданных элементов при отсутствии насыщения служит другим источником ограничения качества системы. Наконец, в главе 8 мы видели, как ограничение полосы линейной системы неизбежно ухудшает ее качество.

Перечисленные преимущества аналитического метода расчета по сравнению с методом проб настолько значительны, что, несмотря на имеющиеся в нем недостатки, мы все же предполагаем, что следящие системы в будущем должны рассчитываться, как правило, при помощи этого метода. Однако читатель должен хорошо знать по крайней мере два недостатка аналитического метода, которые несколько умаляют его огромные преимущества. Эти недостатки следующие: 1) ограниченное число показателей качества, 2) относительно

сложный математический аппарат, который необходимо использовать при решении любой, даже самой простой задачи.

Что касается первого недостатка, то в предыдущих главах читатель получил представление о методах анализа, необходимых для вычисления интегральной квадратичной ошибки для регулярных сигналов и среднего квадрата для случайных сигналов. Эти показатели качества использовались в книге потому, что, будучи полезными в технике, они приводят к сравнительно простому математическому анализу. Многие другие показатели качества также полезны в технике, однако они приводят к формулировкам задачи, которые не поддаются анализу. Примером такого показателя качества может служить абсолютное значение ошибки. Читатель может придумать много других примеров.

Что касается второго недостатка аналитических методов, то читатель, ознакомившись с примерами глав 7 и 8, уже изучил математические детали, необходимые для решения относительно простых задач. Математические трудности быстро возрастают по мере увеличения порядка уравнения заданного элемента, характера регулярного сигнала или спектра случайного сигнала и числа ограничений. Фактически трудности, связанные с применением аналитических методов к практическим задачам, обезоруживают многих инженеров, пытающихся применить эти методы.

Цель данной главы состоит в том, чтобы показать, как можно без особых математических трудностей применить аналитические методы расчета к практическим задачам. Прежде всего сделаем несколько общих замечаний о том, как можно наиболее эффективно применить аналитические методы к практическим задачам.

Очевидно, когда практическая задача приводит к большим математическим трудностям, мы так или иначе идеализируем ее. Если заданные элементы системы сложны, то, возможно, их удастся описать более простой математической моделью, в которой сохранятся их наиболее важные свойства. Например, замена передаточной функции чистого запаздывания дробно-рациональной функцией часто упрощает математические выкладки без существенного ухудшения точности. Подобно этому, если трудности вызываются описанием входного сигнала, то часто можно сделать упрощение, сохраняя основные свойства точного решения. Решение идеализированного или упрощенного варианта практической задачи служит эталоном для определения точности при расчете методом проб, который в

действительности используется. Желательно применять метод проб потому, что передаточные функции корректирующих звеньев, полученные этим методом, проще по виду и легче реализуются даже для идеализированного варианта задачи, чем передаточные функции, полученные аналитическим методом. Схема коррекции, полученная методом проб, обычно обеспечивает значение показателя качества, весьма близкое к значению, полученному аналитическим методом. Это происходит потому, что экстремум показателя качества обычно не сильно зависит от изменения параметров и вида передаточной функции корректирующего звена. Однако, не имея эталона для приближенного определения показателя качества в системе, мы не можем знать, как долго производить расчет методом проб. Имея же такой эталон за счет применения аналитического метода, мы знаем, когда надо прекратить вычисление последовательных приближении в методе проб. Таким образом, если поставленные условия органически недостижимы, то аналитический метод обнаружит это и, следовательно, избавит нас от предварительного расчета методом проб. В связи с этим мы приходим к заключению, что наиболее важной функцией аналитического метода в применении к практическим задачам является функция управления методом проб в том смысле, что аналитический метод дает эталон, на основании которого можно судить о точности отдельных приближений. В то же время мы видим, что нежелательно использовать корректирующие звенья, определенные на основе аналитического метода, так как весьма вероятно, что такие звенья более сложны, чем другие звенья, обеспечивающие почти такое же качество системы.

Применяя высказанные идеи уже к рассмотренным задачам, читатель может обнаружить, что ему необходимо распространить формулы, полученные ранее, или вывести новые формулы, пригодные для его частных случаев. В книге, которая предназначена для изложения основ теории аналитического расчета, нецелесообразно пытаться предвидеть все возможные применения и получить формулы для всех возможных случаев. Тем не менее, используя основные идеи, представленные в предыдущих главах, читатель может распространить, изменить или вывести заново формулы для применения к своей частной задаче.

Возвратимся теперь к частной задаче, которая будет служить иллюстрацией некоторых рассмотренных ранее идей. Задача состоит в том, чтобы рассчитать привод по азимуту мощного радиотелескопа. Начиная с весны 1956 г., сотрудники Лаборатории следящих систем Электротехнического факультета Массачузетского технологического института были заняты задачей управления параболическим рефлектором диаметром 140 футов, используемым в радиотелескопе, проект которого разработан Национальным научным обществом. Оставшаяся часть главы посвящена одному из аспектов расчета привода по азимуту рефлектора этого телескопа.