ГЛАВА 2. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ИЗ УСЛОВИЯ МИНИМУМА ИНТЕГРАЛЬНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ

§ 2.1. Постановка задачи

В предыдущей главе была высказана мысль о расчете системы с обратной связью из условия минимума (или максимума) некоторого показателя качества системы. В данной главе эта идея развивается для следующего ограниченного класса задач: входной и идеальный выходной сигналы изменяются во времени; за показатель качества системы принят интеграл от квадрата ошибки между идеальным (желаемым) и фактическим сигналами и на выходе системы (интегральная квадратичная ошибка); структура системы считается заданной и при расчете можно выбирать лишь некоторые параметры.

Задача расчета системы с обратной связью для сигналов, изменяющихся во времени, имеет существенное значение. На рис. 2.1-1 показаны типовые сигналы такого рода: единичная ступенчатая функция, функция, линейно возрастающая во времени, прямоугольный импульс, единичная импульсная функция или в общем случае произвольная непериодическая функция.

Единичная ступенчатая функция и функция, линейно возрастающая во времени, часто используются при идеализации действительных входных сигналов. Действительные сигналы на входе системы могут в течение значительного промежутка времени сохранять постоянное значение. Однако на отдельных участках они могут претерпевать резкие изменения, которые приводят к значительным ошибкам. В любом случае использование сигналов, произвольно изменяющихся во времени, для испытания системы дает

определенные преимущества по сравнению с синусоидальными сигналами, так как первые содержат в общем случае бесконечное число гармоник, в то время как вторые — только одну. Таким образом, однократное испытание системы сигналом, произвольно изменяющимся во времени, может дать такую же информацию, как многократное испытание системы синусоидальными сигналами разных частот.

Теперь сделаем несколько замечаний относительно выбора интеграла от квадрата ошибки показателем качества системы. Во многих прикладных задачах качество следящей системы считается удовлетворительным, если ошибка остается меньше некоторого заданного предела, и неудовлетворительным в противном случае. При этих условиях наиболее удобным показателем качества был бы промежуток времени, в течение которого ошибка остается за допустимыми пределами. Чем меньше это время, тем выше качество следящей системы. К сожалению, невозможно в общем виде решить задачу о минимуме такого показателя качества системы. Однако минимизацией интеграла от квадрата ошибки мы одновременно минимизируем и интервал времени, в течение которого ошибка будет иметь значительную величину. Это происходит потому, что интеграл от квадрата ошибки зависит в основном от больших, а не от малых ошибок.

Рис. 2.1-1. Типовые сигналы.

а) единичная ступенчатая функция линейно возрастающая функция прямоугольный импульс произвольная функция времени.

В следящей системе иногда желательно минимизировать пиковое значение ошибки при изменяющемся во времени возмущении. В общем случае эта задача также не решена. Нетрудно видеть, что минимизация интеграла от квадрата ошибки приводит к ограничению пикового значения ошибки в следящей системе при условии, что в рассматриваемой задаче пиковое значение можно изменять. Бывают случаи, когда за критерий работы системы следует принимать пиковое значение ошибки. Поскольку задачу минимизации интеграла от квадрата ошибки можно решить аналитически для самого общего класса сигналов, то оправдано ее использование вместо других показателей качества, которые более естественны для данной системы, но приводят к математически неразрешимым задачам.

На рис. 2.1-2 показана схема следящей системы достаточно общей в том смысле, что схемы многих более сложных систем могут быть сведены к ней.

Предполагается, что структурная схема системы задана и можно лишь менять один или несколько параметров. Например, в типичной задаче неизменяемая часть системы и элемент в обратной связи могут быть полностью определены, а также выбрана структура корректирующего элемента. При этом остается выбрать значение коэффициента усиления и постоянных времени корректирующего элемента.

Рис. 2.1-2. Схема системы регулирования.

Хотя теоретически очевидно, что многое приносится в жертву при задании структуры системы, практически часто случается, что изменением нескольких параметров можно добиться почти такого же эффекта, как при свободном выборе структуры корректирующего контура.

Если сформулировать кратко, то задача, рассматриваемая в этой главе, заключается в следующем.

Задаются, как функции времени, входной и желаемый выходной сигналы и структура следящей системы. Необходимо определить значения параметров системы, при которых интеграл от квадрата ошибки имеет минимальное значение. Для решения этой задачи используем преобразование Фурье входного и желаемого выходного сигналов. Тогда интеграл от квадрата ошибки можно легко вычислить на основании теоремы Парсеваля. Если изображение ошибки окажется дробно-рациональной функцией комплексной переменной, то интеграл от квадрата ошибки легко вычисляется при помощи таблицы интегралов.

После вычисления интеграла получаем ошибку как функцию параметров. Затем, используя хорошо известные методы, находим такие значения параметров, при которых интегральная квадратичная ошибка имеет минимум.