§ 7.2. Соотношение между вероятностью насыщения и с.к.з. предельной амплитуды

Основное предположение, сделанное в предыдущем параграфе, состояло в том, что вероятность насыщения можно ограничить за счет ограничения с.к.з. амплитуды насыщенного сигнала. Справедливость этого предположения можно легче заметить при исследовании функции распределения вероятности сигнала и ее зависимости от с.к.з. в линейной системе. На рис. 7.2-1 показана характеристика элемента с насыщением. Из рисунка видно, что элемент с насыщением и его эквивалентная линейная модель совпадают, если амплитуда сигнала на выходе остается в пределах линейной области. Если бы можно было удерживать пиковое значение выходного сигнала в этих пределах, то линейная модель была бы полностью тождественна элементу с насыщением для всех моментов времени и всех практических

случаев. Так как весьма трудно добиться аналитическими методами ограничения пикового значения, то мы сосредоточим свое внимание на с.к.з. выходного сигнала, предполагая при этом, что ограничение максимума с.к.з. выходного сигнала эффективно уменьшает тенденцию выхода сигнала за пределы линейной области.

Соотношение между с.к.з. выходного сигнала и вероятностью насыщения можно получить, исходя из следующих соображений.

Рис. 7.2-1. Типовая кривая насыщения.

Рассмотрим линейную систему с весовой функцией на вход которой воздействует стационарный случайный сигнал с гауссовой первой функцией распределения

где — вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале -среднее значение,

Если распределение является гауссовым (нормальным), то а называется средним квадратичным отклонением случайной величины от ее среднего значения.

Для рассматриваемой системы необходимо иайти первую функцию распределения выходного сигнала. Входной сигнал можно рассматривать как сумму элементарных импульсов с плотностью

где определяет момент появления импульса и — время наблюдения сигнала на выходе (см. рис. 1.3-2).

Сигнал на выходе в момент вызванный одним из этих элементарных импульсов, определяется формулой Согласно предположению, функция распределена нормально. Следовательно, величина — также распределена нормально, поскольку является весовым коэффициентом, зависящим только от и не зависящим от Полный сигнал на выходе в момент определяется как сумма элементарных составляющих от каждого из импульсов на входе и дается интегралом свертки (формула (1.3-3)). Но сумма элементарных составляющих на выходе является суммой гауссовских случайных величин и, согласно известным результатам теории вероятности (см. [14], стр. 213—220), является также нормально распределенной величиной. Таким образом, если сигнал на входе линейной системы распределен нормально, то сигнал на ее выходе также имеет нормальное распределение.

Более общий результат для входных сигналов, функция распределения которых не является нормальной, можно получить, применяя центральную предельную теорему (см. [14]). Эта теорема устанавливает, что при достаточно общих условиях закон распределения суммы независимых случайных величин при любых законах распределения слагаемых асимптотически стремится к нормальному при возрастании числа слагаемых. Асимптотическое стремление закона распределения к нормальному для сигнала на выходе линейной системы, когда входной сигнал не является нормальным, наиболее заметно, если система обладает свойствами фильтра низких частот. В практике оказывается, что для многих сигналов первую функцию распределения можно приближенно считать гауссовой. Следовательно, для наших целей можно ограничиться случаем нормального распределения и при необходимости распространить этот результат на функции распределения, отличные от гауссовых.

Отметим, что для нормально распределенных случайных сигналов первая функция распределения полностью определяется математическим ожиданием и средним квадратическим значением сигнала. Дисперсия случайной величины определяется следующим образом:

или

Из (7.2-3) видно, что дисперсия величины однозначно связана с величиной т. е. вторым начальным моментом (или средним квадратом) от V, и величиной т. е. средним значением V. Так как нормальная функция распределения полностью определяется

дисперсией а и средним значением V, то среднее квадратичное значение и среднее значение сигнала (о котором известно, что он должен быть распределен нормально) полностью определяют его первую функцию распределения.

Возвращаясь к рис. 7.2-1, предположим, что сигнал на входе элемента с насыщением имеет нормальное распределение с нулевым средним значением. Для этого случая вероятность выхода насыщенного сигнала за пределы линейной области определяется формулой

где - вероятность выхода амплитуды сигнала из линейной области; — максимально допустимое значение на выходе элемента с насыщением; сигнала на выходе эквивалентной линейной модели.

Рис. 7.2-2. Вероятность насыщения элемента при нормально распределенном возмущении с нулевым средним значением Отношение максимального сигнала на выходе в лннейной области к с. к. з. сигнала на выходе моделн фнктнвной лннейной системы. — вероятность насыщения.

На рис. 7.2-2 показана кривая (7.2-4). Из этой кривой видно, что, выбирая, например, с.к.з. сигнала на выходе эквивалентной линейной модели равным от максимального значения, определяющего область линейности, можно добиться, что действительный сигнал всего времени не будет выходить за пределы линейной области. Это подтверждает основное предположение о том, что ограничение с.к.з. сигнала на выходе эквивалентной линейной модели одновременно ограничивает вероятность насыщения в действительном элементе с насыщением. Следовательно, можно сделать вывод, что рассмотренное решение задачи о насыщении будет тем точнее, чем меньше с.к.з. насыщенного сигнала по сравнению с областью линейности. Дальнейшие рассуждения относятся к последовательной цепочке, изображенной на рис. 7.1-1 для случая, когда входной сигнал распределен нормально. При этом возможно точное вычисление вероятности насыщения при помощи формулы (7.2-4), так как сигнал на входе элемента с насыщением будет также нормальным. Рассмотрим систему с обратной связью и с элементом насыщения (рис. 7.2-3). Если входной сигнал имеет нормальное распределение, то сигнал на

входе элемента с насыщением уже не будет нормально распределенным, так как сигнал представляет оазность нормально распределенного сигнала и сигнала закон распределения которого уже не является нормальным.

Рис. 7.2-3. Эквивалентная линейная модель системы регулирования с насыщением.

При этих условиях формула (7.2-4) уже не может быть использована для расчета вероятности насыщения.

Рис. 7.2-4. Экспериментальная система для исследования насыщений в замкнутой системе регулирования.

Однако вполне возможно, что сигнал, действующий в системе, будет иметь распределение, более близкое к нормальному, чем выход элемента с насыщением, так как в большинстве систем за элементом с насыщением следуют интегрирующие и

Рис. 7.2-5. Вероятность насыщения как функция интенсивности возмущения в экспериментальной системе.

запаздывающие звенья. Эти низкочастотные элементы стремятся приблизить к нормальному закон распределения сигнала (согласно центральной предельной теореме). Таким образом, хотя точное соотношение между вероятностью насыщения и с.к.з. сигнала на входе элемента с насыщением неизвестно для случая системы с обратной связью, можно считать оправданным, что вероятность насыщения в этом случае определяется предельным с.к.з. насыщенного сигнала

Рис. 7.2-6. Функция распределения в экспериментальной системе.

Идеи и предположения этого метода были проверены для одного случая экспериментально Ньютоном [35]. Система, исследованная экспериментально (показана на рис. 7.2-4), представляет сервомеханизм положения с насыщением по скорости. Входной сигнал имеет приблизительно нормальное распределение. Результаты эксперимента, представляющие интерес, приведены на рис. 7.2-5 и 7.2-6.

На рис. 7.2-5 показана зависимость вероятности насыщения от Из рис. 7.2-5 следует, что вероятность насыщения зависит от с.к.з. насыщенного сигнала. На рис. 7.2-6 приведены законы распределения входного сигнала, сигнала ошибки выхода и насыщенного сигнала (для ). Из рисунков видно, что даже в том случае, когда закон распределения на выходе элемента с насыщением существенно отличается от нормального, законы распределения сигналов в других точках системы близки к нормальному. Результаты подтверждают общее заключение этого параграфа.