ПРИЛОЖЕНИЕ VI. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ СИСТЕМ

1. Амплитудно-фазовые соотношения

Здесь мы выведем соотношения между амплитудной и фазовой характеристиками, которые имеют место для минимально-фазовой системы. Эти соотношения применялись в § 6.2 при обсуждении смысла выражения «минимальная фаза». Во втором разделе дается способ получения приближенной фазовой характеристики, соответствующей заданной амплитудной характеристике.

Связь фазовой характеристики с амплитудной для минимальнофазовой системы находится из соотношения мнимой и действительной частей комплексной функции частоты, не имеющей полюсов в правой полуплоскости. Это следует из того факта, что логарифм комплексного числа равен сумме логарифма модуля и фазового угла, умноженного на Таким образом, действительная часть логарифма передаточной функции является логарифмом модуля или амплитудной характеристики, а мнимая часть — фазовым углом. Эта зависимость выражается в виде

Если передаточная функция характеризует устойчивую минимальнофазовую систему и, следовательно, не обладает полюсами или нулями в правой полуплоскости, то отсюда вытекает, что логарифм передаточной функции также не будет иметь полюсов в правой полуплоскости. Следовательно, мнимая часть логарифма устойчивой минимально-фазовой передаточной функции будет определенным образом связана с действительной частью; это означает, что фазовая характеристика передаточной функции будет определенным образом связана с амплитудной характеристикой.

Ввиду важности установленной связи фазовой и амплитудной характеристик минимально-фазовой системы рассмотрим теперь определение мнимой части комплексной функции частоты по ее

действительной части в подробностях. Во временной области существует функция времени, соответствующая некоторому преобразованию Фурье где Пусть это будет функция . В общем случае эта функция времени может быть разбита на нечетную часть и четную часть так что

Соответствующее соотношение в частотной области

где

и

Преобразование является нечетной функцией действительной частоты и чисто мнимо. Это вытекает из нечетности и может быть показано с помощью замены в (VI. 1-4) экспоненты ее тригонометрическими компонентами. Подобно этому является четной и действительной функцией частоты

Рассмотрим теперь функцию которая не имеет полюсов в правой полуплоскости. Как указывалось в приложении I, такая функция соответствует функции времени, тождественно равной нулю при отрицательном времени, так что

Нечетная компонента функции времени должна полностью компенсироваться четной компонентой при Отсюда следует, что

Мы можем выразить преобразование нечетной части функции времени через четную часть преобразования, используя соотношение (VI. 1-4). В результате

Частотная переменная применена в этом уравнении, чтобы избежать путаницы с другой частотной переменной, которая будет

использована позже. Заменим в первом члене правой части на Тогда для частотной функции имеем

Введем в это уравнение множитель сходимости и запишем

Но можно считать обратным преобразованием

Подставив это значение , получим

При наличии множителя сходимости интегралы по времени от верхнего предела стремятся к нулю, если и чисто мнимы. Следовательно, интегрируя по времени (VI.1-12), получим

что в пределе при дает

Так как ограничено при интегрировании мнимыми значениями и, следовательно, — четная функция, то второй член в (VI. 1-14)

тождественно равен первому с учетом его знака. Это можно показать с помощью замены переменной Следовательно, второй член в (VI. 1-14) можно заменить первым, в результате чего

Но как так и s чисто мнимы. Положив поэтому получим

Это и есть основное выражение мнимой части комплексной функции частоты через ее действительную часть.

Следует заметить кстати, что вывод, подобный приведенному, можно проделать для выражения действительной части комплексной функции частоты через ее мнимую часть. В результате получим

Это выражение идентично по форме с (VI.1-16), за исключением отрицательного знака.

Основное соотношение между мнимой и действительной частями комплексной функции частоты, выраженное в (VI. 1-16), можно представить в различных формах. Одна из форм получается интегрированием правой части (VI.1-16) по частям и приводит к соотношению

при условии, что

Здесь представляет первую производную по Согласно Боде [5], это соотношение, выраженное в логарифмической шкале частот, показывает, что мнимая часть является весовой функцией наклона действительной части. Для частотной характеристики это означает, что фазовая характеристика является весовой функцией наклона логарифмической амплитудной характеристики.

Другая форма соотношения между мнимой и действительной частями является результатом интегрирования по частям правой части (VI.1-18). Она представляет результат двойного интегрирования по частям правой части (VI. 1-16) и дается выражением

при условии, что

и

является здесь второй производной от по

Приведенные соотношения между действительной и мнимой частями редко интегрируются для нахождении аналитической связи между фазовой и амплитудной характеристиками. Чтобы упростить необходимое интегрирование, в практике обычно применяется аппроксимация.