§ 1.3. Математические модели; принцип суперпозиции

Современный научный подход к технике в значительной мере составляет такая формулировка задач, чтобы к ним можно было применить методы математического анализа. Во время первой мировой войны инженеры могли использовать для этого относительно грубые методы. Поэтому они использовали большие коэффициенты надежности для того, чтобы предохранить систему от неисправностей. Постепенно давление со стороны все уменьшающейся стоимости и возрастающих требований к качеству, сузили границы коэффициентов надежности и, таким образом, потребовалось более точное решение задачи. Системы с обратной связью не составили исключения в этой общей тенденции. Действительно, успехи, которых достигли инженеры при исследовании на научных основах, послужили источником вдохновения для все возрастающего применения научных методов в других областях техники.

Реальные характеристики физических систем при их достаточно детальном изучении, вообще говоря, настолько сложны, что не поддаются точному описанию. Даже достаточно точное описание лишь отдельных элементов системы регулирования обычно приводит к столь сложному описанию всей системы, что ее анализ становится невозможным. Аналитические трудности, возникающие в связи с более или менее точным описанием системы регулирования, можно преодолеть за счет упрощенного описания отдельных физических элементов, составляющих систему. Это упрощенное описание носит название математической модели. Именно в своем выборе математических моделей, представляющих реальные узлы системы регулирования, инженер имеет наибольшую возможность проявить свое мастерство, а также наибольшие возможности ошибиться.

В качестве примера неоднозначности выбора математических моделей для одного и того же физического устройства рассмотрим катушку с железным сердечником. Простейшей линейной моделью служит соотношение, связывающее поток с магнитодвижущей силой. Следующей по порядку может служить модель с учетом насыщения. Тогда получаются приближения истинного насыщения, которые обладают различной степенью резкости ограничения. В практических приложениях можно использовать различные аппроксимации гистерезисной петли. Для магнитного усилителя материал сердечника можно охарактеризовать прямоугольной петлей гистерезиса, хотя в действительности эта кривая имеет закругленные углы. При достаточно высоких частотах катушку с железным сердечником можно заменить эквивалентной емкостью. В зависимости от условий работы инженер имеет большое число математических моделей для описания катушки с железным сердечником. Однако он не изобрел еще универсального метода описания свойств катушки для любых условий работы.

Системы автоматического регулирования удобно классифицировать по математическим моделям, которые используются для их анализа. В общем имеется два больших класса: линейные системы и нелинейные системы. Напомним, что линейными называются системы, у которых реакция пропорциональна входному сигналу. В частности, реакция на два сигнала А к В, действующих вместе, равна сумме реакций на сигнал А и сигнал В при действии каждого из них в отдельности. Выражение суперпозиция тождественно именно этому свойству линейных систем. Любая математическая модель, для которой принцип суперпозиции не имеет места, называется нелинейной.

Линейные системы могут быть разделены на системы с постоянными параметрами, системы с переменными параметрами и импульсные системы. Для линейных систем с постоянными параметрами реакция на входной сигнал не зависит от момента приложения сигнала. Это несправедливо для систем с переменными параметрами. Импульсная система является частным случаем линейной системы с переменными параметрами, в которой один или несколько параметров меняются периодически.

Нелинейные системы нельзя классифицировать, подобно тому как это было сделано для линейных систем. В задачах регулирования нелинейные системы можно классифицировать по виду нелинейности. Одним из примеров служит релейная система, где реле — существенно нелинейный элемент. В некотором смысле близкой к релейным является система с квантованием сигналов. Подобные системы все чаще используются при цифровой переработке данных. Другим важным типом

нелинейных систем являются системы, состоящие в основном из линейных элементов и включающие один или несколько нелинейных элементов. Наконец, упомянем еще программные регуляторы с характеристикой насыщения, которые в некоторой области остаются линейными. Работы, указывающие на возможность улучшить качество систем регулирования за счет нелинейностей, вызывали значительный интерес к этой области с конца сороковых и до начала пятидесятых годов нашего столетия. Однако затем не последовало никакого практического применения этих идей.

Рис. 1.3-1. а) Импульс как разность двух единичных ступенчатых функций; б) условное изображение единичной импульсной функции.

Как было указано, наибольшие достижения в анализе имели место при исследованиях линейных систем. По сравнению с ними исследование нелинейных систем имеет весьма незначительные достижения. Однако и в исследовании линейных систем имеются еще большие возможности дальнейшего развития. Материал этой книги связан с одной такой возможностью. Книга носвящена в основном анализу линейных моделей. Из нелинейностей рассматриваются только элементы с насыщением, и предлагается метод, позволяющий добиться работы таких элементов лишь в линейной области.

Рассмотрим несколько подробнее свойство линейности, которое, по-видимому, играет основную роль в развитии аналитических методов. Ключ к пониманию этого свойства заключается в значении слова суперпозиция. Благодаря принципу суперпозиции сигнал на выходе линейной системы при сложном входном сигнале можно определить следующим образом. Вначале входной сигнал раскладывается на составляющие, имеющие одинаковую и наиболее простую форму. Далее определяется реакция системы на одну такую составляющую. После этого суммированием отдельных реакций на элементарные составляющие входного сигнала получают выходной сигнал. Имеется большое число простейших составляющих, на которые можно разложить входной сигнал. В качестве такого ппостого сигнала в книге

показан прямоугольный импульс. Единичный импульс обозначается как функция времени символом Интеграл от единичного импульса в пределах равен единичной функции, которую мы будем обозначать через Так как единичная функция легче обозрима, чем единичная импульсная функция, то последнюю, вероятно, удобно определить через первую.

Это определение дается следующей формулой:

Так как точно изобразить графически единичную функцию невозможно, то обычно ее изображают условно, как это показано на рис. 1.3-1, б. Число в скобках определяет величину импульса, равную его площади.

Реакция линейной системы на импульсный входной сигнал является импульсной функцией, характеризующей систему. Ее ординаты пропорциональны величинам соответствующих импульсов на входе. Если разделить значения импульсной функции на величину входных импульсов, то получим нормализованную импульсную функцию системы. Эта функция называется весовой функцией системы. Размерность весовой функции системы равна размерности сигнала на выходе, деленной на произведение размерности входного сигнала на время. Значение весовой функции линейной системы не зависит от величины входных импульсов и, следовательно, единственным образом характеризует систему. На рис. 1.3-2,а показана весовая функция типовой системы. Весовая функция, соответствующая реальной системе, всегда равна нулю для отрицательных значений времени, так как невозможно, чтобы следствие опережало причину во времени. Таким образом, весовая функция физически осуществимой системы должна быть равна нулю для отрицательных значений времени. Под словом физически осуществимая весовая функция мы будем понимать нормированную импульсную функцию такой линейной системы, которую можно физически осуществить в том смысле, что можно создать конструкцию, соответствующую математической модели. Соображения практического порядка могут служить препятствием для реализации многих физически осуществимых систем.

Практически ни в одной физической системе невозможно определить весовую функцию, подавая на ее вход единичный импульс.

Такой входной сигнал может привести систему в негодность из-за большой величины напряжений, токов или сил, которые явятся следствием его приложения. Для определения весовой функции физической системы необходимо возбудить ее единичной или линейной функцией времени и затем продифференцировать нужное число раз полученную реакцию. В других случаях прямоугольные импульсы, длительность которых значительно короче реакции на импульс, приближенно можно использовать в качестве единичных импульсов.

Рис. 1.3-2. а) Весовая функция системы; б) разложение входного сигнала на последовательность бесконечно малых импульсов.

Определив импульсную или весовую функцию системы, мы можем рассмотреть принцип суперпозиции с количественной стороны. На рис. 1.3-2, б показан типичный входной сигнал Необходимо определить значение сигнала на выходе в произвольный момент времени Рассмотрим влияние на выходной сигнал в момент времени входного сигнала, определенного в момент времени, предшествующий т. е. в момент Можно представить себе бесконечно малый импульс, соответствующий бесконечно малому промежутку времени умноженному на величину входного сигнала Бесконечно малый импульс на выходе в момент как следствие бесконечно малого импульса на входе, равен просто весовой функции в момент времени умноженной на величину импульса. Именно

Согласно принципу суперпозиции, выходной сигнал в момент можно вычислить как сумму всех таких бесконечно малых импульсов. Так как суммируются бесконечно малые величины, то процесс суммирования заменяется интегрированием. Переменной интегрирования является Следовательно, для величины на выходе в момент времени получаем

В правой части этого выражения имеем известный интеграл свертки. Оно дает возможность математически выразить принцип суперпозиции. Для физически осуществимых систем весовая функция для и ее значение на интервале не оказывают влияния на величину выходного сигнала. Следовательно, для физически осуществимых систем нижний предел в (1.3-3) можно заменить нулем.

В частотной области существует другой метод определения связи между выходом и входом линейной системы. Этот метод равносилен соотношению (1.3-3). Соотношение в частотной области получается, если вычислить изображения Фурье правой и левой частей равенства (1.3-3). В этой книге для комплексной переменной в изображении Фурье и Лапласа принята буква Некоторые сведения, касающиеся этих изображений, приведены в приложении 1. Вычисляя изображения правой и левой частей, имеем

Интеграл слева есть изображение Фурье выхода, которое мы обозначим через Меняя порядок интегрирования в правой части, получим

Произведем замену переменной интегрирования в первом интеграле:

где множитель получается после замены переменных в первом интеграле. Считая новой переменной, можно вычислить первый и второй интегралы независимо. Первый интеграл есть изображение входного сигнала Второй интеграл есть изображение весовой

функции, которое мы обозначим буквой . Это изображение называется передаточной функцией системы. Используя введенные выше обозначения, можно переписать формулу (1.3-6)

Это выражение в частотной области эквивалентно интегралу свертки (1.3-3).