§ 1.6. Аналитический метод и метод проб

Предыдущий параграф был посвящен определению проблемы регулирования. Здесь же мы кратко рассмотрим методы решения задач регулирования. По нашему мнению, имеется два основных метода расчета линейных систем регулирования, получивших широкое распространение. Первый мы назовем методом проб. Он начал быстро развиваться в конце тридцатых годов и изучается уже при первоначальном знакомстве с системами регулирования. Предполагается, что читатель более или менее знаком с ним по одному из учебников, указанных в библиографии [1], [7], [8], [11], [31], [43]. Второй метод мы назовем аналитическим методом расчета. Такой подход к расчету систем регулирования был предложен Винером в начале сороковых годов. Поэтому он развивался медленнее, чем метод проб, и сравнительно мало описан в литературе. Типичными

книгами, где в той или иной степени рассматривается аналитический метод, являются [21], [26], [42], [45], [46], [50], [51]. Среди статей по этому вопросу можно отметить [6], [29], [35], [36], [49], [54]. В этом параграфе мы попытаемся бегло рассмотреть эти два метода расчета, чтобы подготовить читателя до начала подробного изложения аналитического метода.

При расчете методом проб исходят из формулировки условий расчета системы регулирования. В условия задачи входят сведения о входном сигнале и возмущении, действующем на систему регулирования, а также требования к желаемому сигналу на выходе. Далее в условиях задачи должны содержаться некоторые сведения о желаемом сигнале на выходе, а также о допустимой ошибке приближения к этому желаемому сигналу. Если в системе регулирования имеются заданные элементы, а они обычно имеются, то необходимо выбрать их характеристики. Наконец, необходимо задать степень устойчивости системы регулирования. Кроме того, надо иметь некоторые указания относительно нулевого приближение в методе проб. Если эти сведения не сообщены инженеру, а так часто бывает, то он должен сам найти их до начала расчета.

Когда все условия задачи известны, можно начинать расчет. Расчет методом проб выполняется первоначально в частотной области. Первый шаг состоит в выборе пробного корректирующего звена. Вначале выбирается относительно простая коррекция на основании экспериментов, выполненных инженером. Параметры корректирующего звена, кроме коэффициента усиления системы, выбираются на основе эксперимента и рассмотрения фазовых и амплитудных частотных характеристик заданных элементов системы. Второй шаг состоит в выборе коэффициента усиления системы из условия заданной степени устойчивости. Степень устойчивости может быть задана в терминах запаса устойчивости по усилению или по фазе, или по пиковому значению вещественной частотной характеристики. Следующий шаг — проверить, удовлетворяет ли ошибка системы заданным требованиям. Это — задача анализа. Она решается либо в частотной области, либо в области времени, в зависимости от природы входного сигнала, возмущения и желаемого сигнала на выходе. Обычно в учебниках метод проб рассматривается применительно к периодическим, гармоническим или произвольным, но неслучайным сигналам. Однако нет существенных причин, которые не позволяли бы использовать этот метод при случайных сигналах. Последний шаг расчета состоит в повторении трех предыдущих с целью выбора более подходящей коррекции, если окажется, что ошибка выходит за допустимые пределы. Этот процесс должен повторяться до тех пор, пока не будут удовлетворены заданные требования. Последовательность действий при расчете методом проб сведена в таблицу 1.6-1.

Таблица 1.6-1. Последовательность расчета методом проб

А. Условия задачи:

1. Входной сигнал.

2. Желаемый сигнал на выходе.

3. Возмущения.

4. Допустимые ошибки.

5. Заданные элементы.

6. Степень устойчивости.

Б. Последовательность расчета:

1. Выбор нулевого приближения для корректирующего звена (производится на основе экспериментальных данных). Выбор значений параметров корректирующего звена за исключением коэффициента усиления системы.

2. Выбор коэффициента усиления системы в соответствии с заданной степенью устойчивости.

3. Определение ошибки и сравнение ее с заданными пределами.

4. Повторение всего расчета в случае, если ошибка выходит за заданные пределы. Продолжение процесса до тех пор, пока будут удовлетворены заданные требования.

При первом взгляде может показаться, что метод проб приводит к грубым результатам. Однако после некоторого опыта человек с хорошей инженерной подготовкой может успешно использовать этот метод для расчета многих систем регулирования. Вследствие существенных преимуществ метода проб, а именно простоты и математического аппарата, доступного инженерам, каждый, кто проявляет серьезный интерес к системам регулирования, должен с ним познакомиться. Хотя в настоящей книге не ставится цель подробно рассмотреть метод проб, некоторые его аналитические приемы даны в приложениях III и IV.

К сожалению, расчет методом проб связан с некоторыми трудностями, которые нужно представлять себе при его использовании. С практической и теоретической точек зрения основным недостатком метода является невозможность выявления некорректных условий задачи. Под некорректными понимаются условия для расчета, недостижимые теоретически. Метод проб не дает возможности установить заранее, разрешима поставленная задача или нет. Ничего не подозревающий инженер может убедиться в некорректном задании условий теоретически лишь после того, как он проделает бесконечное число шагов. Практически инженер, обладающий конечным запасом терпения, прекратит вычисления после конечного числа шагов. К сожалению он не может убедить в ошибке тех, кто задает условия, и не знает, зависит ошибка от них или нет. Другой недостаток метода проб состоит в том, что инженер может прекратить расчет системы регулирования тогда, когда ее ширина полосы пропускания окажется

шире, чем это требуется условиями задачи. Обычно желательно выбирать возможно меньшее значение ширины полосы пропускания системы. Это нужно для облегчения реализации отдельных элементов системы с целью рационального приближения их характеристик к характеристикам соответствующих линейных моделей, на которых основывается расчет. Наконец, метод проб преимущественно предназначается для случаев, когда желаемый выходной сигнал совпадает с входным. Сравнительно небольшие исследования были проведены в случае, когда желаемый выходной сигнал функционально связан с полезной составляющей входного сигнала. Именно в связи с этими недостатками метода проб данная книга посвящена аналитическим методам расчета систем регулирования.

Условия задачи, которые являются исходными для аналитического расчета, отличаются в двух отношениях от соответствующих условий в методе проб. Вместо относительно простого задания допустимой ошибки в аналитическом методе используется более или менее сложный показатель качества.

Основное назначение показателя качества состоит в том, чтобы охарактеризовать одним числом качество системы. Примером показателя качества служит интеграл от квадрата ошибки для сигналов, являющихся регулярными функциями времени, и средний квадрат ошибки для случайных сигналов. К выбранному показателю качества необходимо добавить условия задачи, а также указать численное значение соответствующего показателя качества, при котором работа системы считается удовлетворительной. Второе отличие заключается в условиях задачи и связано с устойчивостью. Аналитические методы не требуют точного задания степени устойчивости всей системы. Найденные решения для корректирующих звеньев содержат двойное требование: во-первых, необходимо, чтобы вся система в целом была устойчива и, во-вторых, была физически осуществима в том смысле, что ее весовая функция должна обращаться в нуль для отрицательных значений времени. Степень устойчивости входит как часть рещения задачи и является следствием условий задачи.

Однако при аналитических методах необходимы дополнительные данные о степени свободы в выборе коррекции. Эти данные не нужны

при использовании метода проб. Если нет заданных элементов и в условиях задачи не содержится ограничений на структуру коррекции, то будем говорить, что имеет место задача, свободная от ограничений. Если в системе имеются заданные элементы, но не накладываются ограничения на корректирующие звенья, то будем говорить, что имеет место задача с частичными ограничениями. Если в системе имеются задайные элементы и, кроме того, имеются ограничения на структуру корректирующих звеньев, то расчет сводится к выбору одного или нескольких параметров корректирующей цепи. Такой случай соответствует задаче с заданной структурой.

После того как определены условия задачи, аналитический расчет сводится к следующему. Первый шаг состоит в классификации задачи. Именно, нужно установить, является ли она задачей, свободной от ограничений, задачей с частичными ограничениями или задачей с заданной структурой. Если имеет место задача, свободная от ограничений или с частичными ограничениями, то второй шаг состоит в применении готовой формулы для передаточной функции корректирующего звена или в получении новой формулы. Эта новая формула выводится при помощи известных методов вариационного исчисления. Передаточная функция, полученная таким способом, обеспечивает минимум (или максимум) значения показателя качества, который можно получить.

Если структура корректирующего звена задана, то второй шаг состоит в том, чтобы определить показатель качества как функцию свободных параметров и минимизировать показатель качества, выбирая соответствующие значения этих параметров. Параметры, найденные таким методом, соответствуют коррекции, обеспечивающей минимальное (или максимальное) значение показателя качества при имеющихся в условиях задачи степенях свободы.

Третий шаг заключается в сравнении полученного значения показателя качества со значением показателя качества из условий задачи. Если результат сравнения оказывается удовлетворительным, то на этом теоретические исследования заканчиваются и можно начинать практическую реализацию корректирующего звена. Если же значение показателя качества оказывается неудовлетворительным, то это доказывает, что данные условия задачи нельзя удовлетворить. В этом случае задача не имеет решения. Условия задачи следует изменить. В таблице 1.6-2 дана последовательность расчета при использовании аналитических методов.

Аналитический метод имеет некоторые преимущества по сравнению с методом проб. Наиболее существенное из них — это возможность просто обнаружить некорректность в условиях задачи. Инженер получает ответ в форме «да» или «нет» на вопрос о том, возможно ли удовлетворить поставленные условия задачи. Ему не нужно пробовать те или иные варианты коррекции, чтобы пытаться

Таблица 1.6-2. Последовательность аналитического расчета

А. Условия задачи:

1) Входной сигнал.

2) Желаемый сигнал на выходе.

3) Возмущения.

4) Показатель качества и его величина.

5) Заданные элементы.

6) Степень свободы, допустимая при выборе корректирующих звеньев.

Б. Последовательность расчета:

1) Необходимо определить, к какому типу относится задача: именно, является ли она задачей, свободной от ограничений, задачей с частичными ограничениями или задачей с заданной структурой.

2) Если имеет место задача, свободная от ограничений или с частичными ограничениями, то для определения корректирующих звеньев используется соответствующая формула. Если структура задана, то необходимо определить показатель качества как функцию свободных параметров и после этого минимизировать показатель качества за счет выбора этих параметров.

3) Необходимо определить, обеспечивает ли определенная таким образом коррекция требуемое качество. Если да, то теоретический расчет на этом заканчивается и можно приступить к практической реализации. Если нет, то задача неразрешима и необходимо изменить условия.

удовлетворить условиям задачи. Другим преимуществом аналитического метода является возможность легко приспособить его для учета ограничения ширины полосы пропускания или тенденции к насыщению системы в пределах, допустимых той степенью свободы, которая имеется в условиях задачи. Под степенью свободы мы понимаем разность между заданной величиной показателя качества и минимальным значением показателя качества, которое можно получить без изменения условий задачи и без учета ограничений ширины полосы и тенденций к насыщению. Часто инженеру выгодно иметь такую степень свободы, чтобы полностью или частично использовать ее при ограничениях на ширину полосы или тенденцию к насыщению. Третье преимущество аналитических методов состоит в том, что они одинаково легко применимы к случаю, когда желаемый выходной сигнал равен входному, и к случаю, когда они не равны. Это, в частности, выгодно, когда входной сигнал является шумом или когда система регулирования используется как часть вычислительного устройства, и необходимо, чтобы она выполняла заданную математическую операцию над полезной составляющей входного сигнала. Последнее, но не наименьшее по своему значению преимущество аналитических методов состоит в том, что они показывают возможности линейных систем. Даже если читатель никогда не будет непосредственно использовать аналитические методы, интуиция, которую они дадут при рассмотрении линейных систем, окажет ему существенную помощь в применении метода проб.

Отметив преимущества аналитических методов, укажем теперь на два существенных недостатка. Во-первых, многие показатели качества, которые могли бы оказаться полезными в технике, приводят к аналитически неразрешимым задачам. Это заставляет производить компромиссный выбор показателя качества, чтобы получить решения задачи. Второй существенный недостаток аналитических методов состоит в том, что даже когда применяются такие показатели качества, как интеграл от квадрата ошибки или средний квадрат ошибки, решение многих практических задач требует громоздких вычислений. Другими словами, решение практических задач может оказаться весьма сложным и имеется опасность, что за деревьями не будет видно леса.