§ 3.7. Теорема Кемпбелла

Здесь мы рассмотрим определение корреляционной функции сигнала, состоящего из последовательности импульсов произвольной формы. Предполагается, что импульсы имеют конечную длительность, а точки их начала распределены во времени по Пуассону. Сигналы такого типа встречаются обычно тогда, когда каждый импульс стохастической последовательности вызывает скачок в электрической цепи. Например, дробовой шум, имеющий место в электрических цепях, является результатом попадания на пластинку вакуумной трубки отдельных электронов. На рис. 3.7-1 показан типичный импульс Сигнал задается формулой

где — момент появления случайной точки. На рис. 3.7-2 приведен образец такого сигнала. Для сигналов этого типа теорема Кемпбелла устанавливает, что среднеквадратичное значение сигнала может быть вычислено по единственной последовательности импульсов и по средней величине сигнала. Точнее, теорема Кемпбелла

Рис. 3.7-1. Типичный импульс.

устанавливает, что

где является средней частотой импульсов, распределенных по Пуассону [10]. Обобщение теоремы Кемпбелла [38] показывает, что корреляционная функция сигналов этого типа определяется равенством

Покажем справедливость этого уравнения, рассматривая ансамбль сигналов и используя для расчета корреляционной функции усреднение по ансамблю. Чтобы рассчитать среднее по ансамблю корреляционное произведение, будем исследовать сигналы из ансамбля в течение интервала Т, достаточно большого по сравнению с длительностью элементарного импульса Интервал Т содержит как так и моменты времени, используемые при расчете корреляционного произведения. Эти моменты времени указаны на рис. 3.7-2. Далее сигналы классифицируются по подансамблям. Каждый подансамбль образуется из сигналов, которым соответствует в интервале Т определенное число случайных точек, являющихся началами элементарных импульсов.

Рис. 3.7-2. Сигнал, образованный импульсами, распределенными по Пуассону.

Типичный подансамбль содержит случайных точек в интервале Т. Сигнал этого подансамбля обозначается через и задается так:

Этот сигнал является функцией положения случайных точек а также функцией времени Процедура определения корреляционной функции следующая.

Во-первых, замечаем, что среднее по ансамблю от корреляционного произведения должно быть подсчитано по

отдельным значениям сигналов в моменты и Это произведение для каждого сигнала из отдельного подансамбля является функцией местонахождения случайных точек Последнее легко усмот" реть из рис. 3.7-2, который изображает типичный сигнал, взятый из подансамбля сигналов, содержащих в интервале Т пять случайных точек. Заметим, что показатель числа случайных точек не позволяет предсказать порядок их появления во времени. На рис. 3.7-3 схематически изображено корреляционное произведение в функции и для подансамбля сигналов, содержащих в интервале Т две случайные точки.

Рис. 3.7-3. Графическое изображение в функции и

Чтобы подсчитать среднее по ансамблю от корреляционного произведения, сначала подсчитаем для каждого подансамбля среднее корреляционное произведение всех сигналов, входящих в этот подансамбль. После этого подсчитаем среднее по ансамблю путем усреднения средних по подансамблям. Поступая так, следует задать надлежащий вес каждому отдельному среднему, чтобы учесть число сигналов подансамбля по отношению к полному числу сигналов в ансамбле.

Может оказаться полезной физическая интерпретация подсчета случайных точек отдельного сигнала, взятого из подансамбля. Предположим, что процесс является ансамблем экспериментов по радиоактивному распаду. Распад заданной массы радиоактивного элемента в каждом эксперименте обнаруживается с помощью счетчика, запоминающего отдельные электрические толчки, производимые импульсами при каждом распаде. При заданном периоде Т запись сигналов на выходе можно классифицировать по числу распадов в течение Т. Рассмотрим все эксперименты, при которых в течение Т имеет место точно распадов. Предположим, что за период Т

распад каждой радиоактивной массы в отдельных экспериментах происходит за счет определенных атомов общим числом Эти атомы произвольно занумерованы от 1 до и нам неизвестно, какой из них распадется первым. Время каждого распада есть Очевидно, что атом распадется, вероятно, на протяжении Т в тот или иной момент времени. Поэтому число приписанное атому, не имеет отношения к тому моменту времени, в который происходит распад. Следовательно, вероятность того, что момент в который атом распадется, лежит между есть просто

и не зависит от момента распада этого и всех других атомов.

Чтобы получить среднее корреляционное произведение по всем возможным сигналам подансамбля, мы просто возьмем все возможные значения этого произведения, взвешивая каждое из них на соответствующую вероятность. Согласно рис. 3.7-3, бесконечно малая вероятность, приписываемая произведению в моменты , является произведением вероятности, с которой лежит между и на вероятность, с которой лежит между Это следует из независимости моментов времени и Но корреляционные произведения при и при различаются на бесконечно малую величину первого порядка. Таким образом, одной из компонент среднего по ансамблю является

в пренебрежении бесконечно малыми порядка выше второго. Распространяя этот результат на подансамбль, получаем

Тот факт, что корреляционное произведение является функцией положения на интервале времени Т, содержащем случайные точки отмечен индексами у скобок в уравнениях (3.7-6) и (3.7-7). Заменяя правыми частями уравнения (3.7-4) (с заменой на и суммируя компоненты, получаем

Индекс введен во избежание путаницы при двойном суммировании. Меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

В двойной сумме имеется членов, для которых Эти члены имеют вид

Для остальных членов двойной суммы не будет равным Эти члены будут иметь вид

Сначала выполняется интегрирование по всем переменным, кроме в первом случае и кроме во втором случае, поскольку подынтегральные выражения не зависят от этих переменных. Каждое такое интегрирование дает единицу. Поскольку период Т достаточно большой по сравнению с отрезком времени, когда импульс заметно отличен от нуля, и так как моменты оба содержатся внутри Т, то значения интегралов не зависят от и записываются, как указано в правых частях уравнений (3.7-10) и (3.7-11), с бесконечными пределами вместо пределов 0 и Т. Запишем теперь среднее по подансамблю так:

Следующим шагом является расчет среднего по ансамблю по средним подансамблей. Отношение числа сигналов в подансамбле к полному числу сигналов в ансамбле представляет собой вероятность нахождения случайных точек в интервале Т и задается распределением Пуассона (3.5-15). Эти вероятности и являются весами,

которые следует использовать при усреднении средних по подансамблям. Среднее по ансамблю корреляционное произведение есть поэтому

Подставляя сюда значения из (3.5-15) и значения средних по подансамблям из (3.7-12), получим:

Но

а

Таким образом,

Последний член является квадратом среднего значения так как V — средняя частота появления импульсов, а интеграл — площадь отдельного импульса. Таким образом мы доказали справедливость (3.7-3). Поскольку среднее по ансамблю не зависит от то корреляционная функция зависит только от параметра сдвига т. Поэтому в условиях стационарности усреднение по ансамблю дает то же, что и усреднение по времени, в согласии с эргодической гипотезой.

Приведенный вывод теоремы Кемпбелла в его распространенной форме является интересным примером применения аналитических методов при трактовке стохастических сигналов. Аналитические методы в приложении к этим видам сигналов приводят к полезным результатам. Однако мы не должны забывать, что подавляющее большинство сигналов, встречающихся в практике, не может быть рассмотрено аналитически и расчет корреляционной функции должен производиться цифровыми или аналоговыми средствами, о чем говорилось в § 3.3.