§ 6.3. Ограничения, связанные с заданной частью системы. Пример

В этом параграфе мы увидим, что заданная часть системы регулирования не накладывает никаких ограничений на характеристики системы при условии, если она является минимально-фазовой. Ограничения появляются лишь тогда, когда заданная часть не является

минимально-фазовой. Если система регулирования имеет минимальнофазовые заданные элементы, то ее передаточная функция может быть найдена из условия минимума среднего квадрата ошибки без учета заданных элементов. Зная, корме того, передаточную функцию заданных элементов, можно определить передаточную функцию эквивалентного корректирующего элемента. Справедливость этого будет показана в следующем параграфе. Если заданные элементы являются неминимально-фазовыми, то передаточную функцию последовательного корректирующего элемента нельзя вычислить из отношения предаточной функции всей системы к передаточной функции заданных элементов. Это отношение будет иметь полюсы в правой полуплоскости и, следовательно, будут нарушены требования к устойчивости. Для неминимально-фазовых элементов необходимо использовать формулу (6.1-13) при решении уравнения (6.1-10). Характерные примеры, связанные с ограничениями, которые определяются неминимально-фазовыми заданными элементами, будут представлены в следующих параграфах.

Теперь рассмотрим решение (6.1-13) для передаточной функции эквивалентного корректирующего элемента в случае, когда заданные элементы имеют минимально-фазовую передаточную функцию Легко видеть, что

и

Для минимально-фазовых дробно-рациональных функций формулы (6.3-1) и (6.3-2) непосредственно следуют из того, что все нули и полюсы расположены в левой полуплоскости, а нули и полюсы — в правой полуплоскости. Используя эти формулы, (6.1-13) можно переписать в виде

Поэтому для передаточной функции последовательного корректирующего элемента можно записать

где

Необходимо отметить, что передаточная функция обеспечивает минимум среднего квадрата ошибки для всей системы в целом при отсутствии заданных элементов. Таким образом,

передаточная функция всей системы не зависит от передаточной функции заданных элементов, если последние являются минимально-фазовыми. Следовательно, заданные элементы с минимальной фазой не накладывают ограничений на характеристики системы, если характеристики определяются по критерию минимума среднего квадрата ошибки. Если заданные элементы являются минимально-фазовыми, то наиболее простой способ определения передаточной функции последовательного корректирующего элемента состоит в том, что вначале на основании формулы (6.3-5) вычисляется передаточная функция всей системы, а затем по формуле (6.3-4) - передаточная функция корректирующих элементов.

Для того чтобы дополнить наши рассуждения о влиянии минимально-фазовых заданных элементов на характеристики системы, рассмотрим теперь влияние неминимально-фазовых заданных элементов. Если передаточная функция неминимально-фазовая, то формулы (6.3-1) и (6.3-2) уже не имеют силы. Таким образом, передаточная функция всей системы не может быть определена на основании (6.3-5), и для того, чтобы определить нредаточную функцию эквивалентного корректирующего элемента, необходимо использовать формулу (6.1-13). Теперь передаточная функция всей системы определится как произведение Следовательно, неминимально-фазовая заданная часть системы накладывает вполне определенные ограничения на характеристики всей системы. Эти ограничения обнаруживаются особенно ясно в последующих примерах.

В нашем первом примере заданная часть имеет передаточную функцию, которой соответствует один полюс на действительной оси левой полуплоскости и единственный нуль на действительной оси в правой полуплоскости. Такую передаточную функцию имеет RC-ячейка, которая используется для приближенного получения чистого запаздывания. Передаточная функция элементов обратной связи тождественно равна единице. Входной сигнал является случайной функцией пилообразной формы, при этом прямоугольные импульсы имеют амплитуду и точки пересечения этой пилообразной кривой с осью времени распределены по закону Пуассона. Средняя частота пересечений равна V. Желаемый выходной сигнал в точности равен входному сигналу. Мы хотим знать минимальное значение среднего квадрата ошибки и передаточную функцию корректирующего элемента, который дает это минимальное значение. Ниже приведены все данные, относящиеся к этому примеру.

Дано. Передаточные функции заданной части и элемента в цепи обратной связи имеют вид

и

Задача определения функции спектральной плотности входного сигнала рассматривалась в §§ 4.5 и 5.5. Если вычислить эту функцию как преобразование Фурье от корреляционной функции, то получим

Так как желаемый сигнал на выходе должен быть равен входному сигналу, то взаимная функция спектральной плотности определяется той же формулой, а именно

Формулы (6.3-6) - (6.3-9) определяют все данные, относящиеся к примеру.

Можно считать, что передаточная функция заданного элемента приближенно равна функции чистого запаздывания Это становится очевидным, если сравнить два ряда Маклорена соответственно для а именно

и

Из (6.3-10) и (6.3-11) видно, что первые три члена этих рядов совпадают, а четвертые отличаются друг от друга только на 50 процентов. Таким образом, вполне законно считать передаточную функцию заданного элемента в этом примере приближением, в низкочастотной области, передаточной функции чистого запаздывания.

Необходимо определить. На основании данных, приведенных выше, мы хотим определить передаточную функцию эквивалентного корректирующего элемента, который минимизирует средний квадрат ошибки. Кроме того, желательно знать передаточную функцию корректирующего элемента, который можно использовать в цепи обратной связи. Необходимо также определить минимальное значение среднего квадрата ошибки. Передаточные функции и минимальное значение среднего квадрата ошибки желательно определить как функции параметров .

Решение. Так как заданная часть системы является неминимально-фазовой и все функции имеют преобразования Фурье, то можно использовать формулу (6.1-13). Для произведения функций имеем

Следовательно, модуль каждого сомножителя в левой части формулы (6.3-12) равен единице. Множитель функции спектральной плотности входного сигнала, имеющий все нули и полюсы в правой полуплоскости, можно представить так:

Соответственно множитель, имеющий все нули и полюсы в левой полуплоскости, имеет вид

Подстановка полученных функций в формулу (6.1-13) дает

Если разложить функцию, стоящую в числителе, на простые дроби и оставить только члены с полюсами в левой полуплоскости, то получим

где

Следовательно,

Полученный результат интересен тем, что передаточная функция эквивалентного корректирующего элемента, который минимизирует средний квадрат ошибки, есть постоянная величина.

Для того чтобы определить передаточную функцию корректирующего элемента в обратной связи, воспользуемся формулой (1.7-4). Подставляя в эту формулу вместо получим

Если подставить в (6.3-19) соответствующие передаточные функции, то будем иметь

Для значений средней частоты у, меньших корректирующий элемент можно считать чистым запаздыванием.

Вычислим теперь средний квадрат ошибки. Он равен значению корреляционной функции при На основании формулы (4.4-2) имеем

Так как шум во входном сигнале отсутствует, то спектральная плотность имеет вид

Ввиду того, что желаемый сигнал на выходе должен совпадать с входным сигналом, передаточную функцию ошибки можно записать так:

Подставляя сюда вместо произведение получим

Следовательно, функция спектральной плотности ошибки может быть записана в виде

где

Интеграл можно вычислить, пользуясь формулой для приведенной в приложении V. Точно так же можно определить минимальное значение среднего квадрата ошибки по формуле

Представляет интерес зависимость среднего квадрата ошибки от среднего значения частоты сигнала V. Для низких частот средний квадрат ошибки просто равен среднему квадрату входного сигнала, умноженному на . По мере возрастания частоты, средний квадрат ошибки приближается к максимальному значению Это максимальное значение равно среднему квадрату входного сигнала и достигается при условии, когда передаточная функция эквивалентного корректирующего элемента, определяемая (6.3-18), равна нулю. При дальнейшем увеличении частоты сигнала средний квадрат ошибки уменьшается и в пределе стремится к нулю. Эти свойства среднего квадрата ошибки вполне оправданы видом частотной характеристики заданной части системы. При различных частотах заданная часть либо пропускает, либо не пропускает сигнал. Сдвиг фазы сигнала на выходе заданной части относительно входного сигнала увеличивается от нуля до 180° при изменении частоты от нуля до Следовательно, на высоких частотах влияние заданной части эквивалентно изменению полярности. Поэтому коэффициент усиления последовательного корректирующего элемента должен быть отрицательным, чтобы компенсировать эффект изменения полярности заданными элементами. Значение среднего квадрата ошибки велико только для промежуточных частот сигнала. Значительная величина среднего квадрата ошибки для этого диапазона частот объясняется быстрым изменением отрицательного сдвига фазы на выходе заданной части системы.

В заключение этого примера отметим, что единственной причиной для возникновения среднего квадрата ошибки является природа заданной части. Эта заданная часть — неминимально-фазовая. Если бы она была минимально-фазовой, то передаточная функция всей системы была бы равна единице, желаемый выходной сигнал совпадал бы с входным, и средний квадрат ошибки был бы равен нулю. Таким образом, только из-за наличия неминимально-фазовой заданной части системы в этом примере средний квадрат ошибки, даже при условии наилучшей физически реализуемой коррекции, отличен от нуля.

В качестве второго рассмотрим тот же пример, но заменим заданную часть элементом чистого запаздывания с временем задержки Т секунд. Все данные, приведенные в предыдущем примере, остаются без изменения, за исключением функции которая теперь имеет вид

Несмотря на то, что передаточная функция заданного элемента является трансцендентной, в этом случае можно получить решение совершенно аналогичным методом.

Решение. Используя формулу (6.1-13) и учитывая, что

имеем

Так же, как и в § 5.4, введем обозначение

Используя те же рассуждения, что и в § 5.5, замечаем, что

Так как время задержки Т всегда положительно, то является импульсом экспоненциальной формы, который возникает до момента Следовательно, функция является частью и отлична от нуля для положительных значений времени, а для отрицательных — равна нулю. Функция определяется формулой

Переходя к изображениям и используя тождество

получим

где

Подставляя (6.3-33) в (6.3-28), получаем передаточную функцию последовательного корректирующего элемента

Снова эта передаточная функция равна постоянной величине.

Передаточная функция корректирующего элемента замкнутой системы, соответствующая эквивалентной последовательной коррекции (6.3-35), определяется на основании формулы (6.3-19). В результате получаем

Отметим, что частотная характеристика корректирующего элемента является периодической функцией действительной частоты

Вычислим теперь значение среднего квадрата ошибки, которое получается при выборе корректирующего элемента согласно (6.3-35).

Разумеется, эта коррекция минимизирует средний квадрат ошибки. Если мы попытаемся оценить средний квадрат ошибки при помощи (4.4-2), то функция спектральной плотности ошибки, стоящая под знаком интеграла, окажется трансцендентной. Однако имеющиеся таблицы интегралов составлены только для дробно-рациональных функций. Это означает, что необходимо вычислять средний квадрат ошибки по формуле (4.4-2) при помощи контурного интегрирования. В частности, проще использовать формулу (6.1-5) и проводить вычисления во временнбй области. Корреляционная функция входного сигнала была получена в § 3.6 и определяется формулой (3.6-8). Так как выходной сигнал должен быть равен входному, то взаимная корреляционная функция между входным и желаемым выходным сигналами равна корреляционной функции входного сигнала. Кроме того, корреляционная функция желаемого выходного сигнала равна корреляционной функции входного сигнала. Таким образом, имеем

Весовая функция последовательного корректирующего элемента определяется формулой

Весовая функция заданного элемента является просто функцией Дирака, сдвинутой на время Т:

Подставляя эти функции в (6.1-5), получим следующую формулу для среднего квадрата ошибки:

Так как весовая функция является просто дельта-функцией, то соответствующие интегралы легко вычисляются. В результате получаем

Подставляя значение согласно (6.3-34), получаем значение среднего квадрата ошибки

В заключение этого примера сделаем несколько замечаний, относящихся к физической интерпретации наших результатов. Прежде всего необходимо отметить, что для малых значений средней частоты сигнала средний квадрат ошибки, определяемый (6.3-42), приблизительно равен Эта величина совпадает со значением среднего квадрата ошибки для системы, заданная часть которой определяется формулой (6.3-6) и является приближением к чистому запаздыванию. Таким образом, для низких частот оправдана приближенная замена передаточной функции чистого запаздывания дробно-рациональной функцией. В действительности для значений средних частот сигнала средний квадрат ошибки в случае дробно-рациональной аппроксимации функции запаздывания отличается не более чем на 3 процента от точного значения.

В качестве второго замечания отметим, что значение среднего квадрата ошибки, определяемое формулой (6.3-42), непрерывно возрастает до своего максимума [32 по мере того, как возрастает средняя частота сигнала. Этот результат совершенно противоположен результату, полученному из формулы (6.3-25) для случая дробнорациональной аппроксимации запаздывания. Элемент с чистым запаздыванием накладывает очень строгие ограничения на свойства системы. Даже при наилучшей возможной коррекции с точки зрения минимума среднего квадрата ошибки невозможно устранить влияние запаздывания в заданном элементе. Следовательно, запаздывание необходимо рассматривать как весьма существенный фактор, ограничивающий показатели качества, достижимые в линейной системе.

Наконец, заметим, что передаточная функция корректирующего элемента для чистого запаздывания тождественна с передаточной функцией системы, рассмотренной в § 5.5, для случая чистого упреждения. Это обстоятельство является совершенно закономерным. Задача воспроизведения входного сигнала при наличии чистого запаздывания тождественна задаче получения упрежденного входного сигнала при отсутствии запаздывания.