§ 9.7. Расчет методом проб

Цель этого параграфа состоит в том, чтобы использовать результаты, полученные при помощи аналитической теории в методе проб и определить, когда можно прекратить вычисления. Для этого рассмотрим три варианта расчета, которые могут использоваться для

азимутального привода радиотелескопа. Для каждого из этих вариантов определим ширину полосы всей системы и с.к.з. ошибки, вызванной случайными возмущениями ветра. Сравнивая среднее квадратичное значение ошибки для данного варианта с теоретической ошибкой, полученной из рис. 9.6-1 для каждого значения полосы, можно определить, насколько еще можно уменьшить с.к.з. ошибки системы. Если такое уменьшение невелико и полученная ширина полосы системы близка к собственной частоте системы, то улучшение системы путем дальнейших проб практически невозможно. Напротив, если имеется большая разница между теоретическим и достигнутым значениями средней квадратичной ошибки или полоса полученной системы значительно меньше резонансной частоты механической системы, то желательны дальнейшие пробы, так как теоретически возможно дальнейшее улучшение качества системы.

Метод проб используется в этом параграфе в совокупности с амплитудно-фазовыми характеристиками разомкнутой системы. Последовательность расчета приведена в приложении IV. В этом параграфе рассматриваются три варианта расчета корректирующего звена системы, показанной на рис. 9.3-2. В варианте А предполагается

где - коэффициент усиления системы по скорости. В варианте В также предполагается, что передаточная функция коррекции имеет вид (9.7-1). Однако добавляется параллельная обратная связь по ускорению антенны, как показано пунктирной линией на рис. 9.3-2. За счет этой обратной связи сигнал, пропорциональный угловому ускорению основания, вычитается из выходного сигнала корректирующего звена и сигнал разности подается на золотник. Параллельная обратная связь должна улучшать качество за счет увеличения эффективного демпфирования механической части системы. Вариант С отличается от В дополнительной составляющей последовательного корректирующего звена. Передаточная функция корректирующего звена в варианте С имеет вид

Рассмотрим теперь, как определяются параметры корректирующих звеньев во всех трех случаях.

Применение метода проб к определению привода радиотелескопа предполагает задание степени устойчивости в виде пикового значения частотной характеристики всей системы: Из требований к степени устойчивости в варианте А сразу получаем коэффициент усиления по скорости, если воспользоваться амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы, так как эта кривая

нормализована относительно коэффициента по скорости. Верхняя кривая на рис. 9.7-1 является амплитудно-фазовой характеристикой азимутального привода радиотелескопа для коррекции по варианту А. Нанеся на рис. 9.7-1 замкнутый контур касающийся частотной кривой, определим усиление по скорости, равное Этот относительно низкий коэффициент усиления является следствием слабого демпфирования механической резонансной системы, определяемого инерцией диска антенны и упругостью опорных башен.

Рис. 9.7-1. Кривые усиления и фазы для трех вариантов коррекции. сек.

Недостаток демпфирования проявляется в виде увеличения значений частотной характеристики разомкнутой системы в окрестности фазового сдвига, равного - 180°.

Можно добиться существенного увеличения усиления по скорости, если уменьшить значения частотной характеристики разомкнутой системы в окрестности точки —180°. За счет обратной связи по ускорению от выхода, как это показано пунктирной линией на рис. 9.3-2, вводится дополнительное демпфирование в механическую систему. Это дополнительное демпфирование проявляется в увеличении коэффициента при первой степени в знаменателе передаточной

функции (рис. 9.3-3). Параметр пропорциональный усилению вспомогательной петли обратной связи, выбирается путем проб так, чтобы частотная характеристика разомкнутой системы допускала максимально возможное увеличение усиления. Значение сек достаточно в том смысле, что оно обеспечивает максимальное усиление по скорости для всей системы. Средняя кривая рис. 9.7-1 является частотной характеристикой разомкнутой системы для такой настройки вспомогательной обратной связи. При этом усиление по скорости возрастает до

Рис. 9.7-2. Кривая для определения ширины полосы.

Для сравнения характеристик всей системы с корректирующими звеньями вариантов , рассмотренных выше, необходимо определить полосу системы для каждого из видов коррекции. Ширина полосы определяется по известному правилу после подсчета среднего квадрата ошибки на выходе фильтра по формуле (9.6-23). Интегрирование произведения квадратов модуля частотных характеристик всей системы и фильтра выполняется графически. На рис. 9.7-2 показаны графики произведения квадратов модулей частотных характеристик всей системы и фильтра. Сравнивая значения среднего квадрата, определенного по этим графикам с соответствующими значениями (9.6-25) для стандартной системы, можно определить ширину полосы системы. Таким путем была найдена полоса системы для варианта А, которая равна 6,5 рад/сек, и для варианта рад/сек.

Определим теперь значения среднего квадрата ошибки для двух систем. Средний квадрат ошибки определяется графическим интегрированием функции спектральной плотности ошибки согласно формуле (9.6-28). Функцию спектральной плотности ошибки можно определить по формуле (9.6-27), однако мы сделаем это несколько проще, записав в другой форме. Так как передаточная функция обратной связи равна единице, то (9.6-27) можно записать так:

Если подставить сюда функцию из (9.6-10), затем умножить и разделить на и выделить передаточную функцию всей системы, то можно записать (9.7-3) в виде

На рис. 9.7-3 показаны кривые спектральной плотности ошибки, полученные согласно этому уравнению. Площадь под кривыми определяет среднеквадратичную ошибку. Для коррекции А она равна 29 рад и для коррекции рад. Пользуясь таблицей 9.7-1, можно сравнить результаты, полученные методом проб, с теоретическими пределами, полученными в предыдущей главе.

Рис. 9.7-3. Функция спектральной плотности ошибки.

Первое заключение, которое можно сделать из этой таблицы, сводится к тому, что полученные значения полосы для коррекций А и В достаточно точны, так как они составляют больше от собственной частоты системы, которая равна 10,8 рад/сек. Однако для модели 1 и коррекции А с. к. з. ошибки в четыре раза больше теоретического значения, полученного в предыдущем параграфе. Это указывает, что можно добиться дальнейшего улучшения системы за счет последующих проб и приводит к коррекции В, где с. к. з. ошибки равно 7,5 рад.

Это значение меньше 8,2 рад, полученных теоретически для модели I. Очевидное противоречие объясняется тем, что коррекция В изменяет заданные элемента так, что модель 1 (9.6-17) оказывается больше неприменимой. Однако даже без точного анализа ясно, что коррекция В дает ошибку, близкую к теоретическому пределу, и дальнейшие пробы, по-видимому, не приведут к существенному улучшению.

Для большей уверенности в невозможности улучшения системы путем последующих проб определим новый теоретический предел ошибки, применяя более точную аппроксимацию заданных элементов системы. В качестве новой аппроксимации заданных элементов,

которую назовем модель II, примем

Параметр 7 выбирается из условия увеличения влияния коэффициента при первой степени в квадратных скобках знаменателя (рис. 9.3-3). Это увеличение происходит от прибавления величины сек к первоначальному значению 0,033 сек, которое было до введения обратной связи по ускорению. Таким образом, для модели II имеем сек. Такая величина уже оказывает существенное влияние на участок высоких частот спектральной плотности возмущений ветра, как это следует из рис. 9.4-1. Если выбрать сек в приближенном выражении (9.6-15) для вместо 0,792, как это было в § 9.6, то можно упростить теоретическое решение. Это получается потому, что множитель (75 1) сокращается с в выражении (9.6-18) для Увеличение Та является следствием увеличения демпфирования гидравлического сервомотора от значения до дюйм фунт Этот параметр ощутимо меняется и сильно зависит от вязкости жидкости в сервомоторе.

Таблица 9.7-1. Сравнение действительных и теоретических показателей качества системы при возмущениях от порывов ветра (см. скан)

Для модели II теоретическая передаточная функция системы, обеспечивающая минимум среднеквадратичной ошибки, по-прежнему определяется формулой Однако параметры принимают теперь новые значения:

Используя новые значения параметров, можно определить с.к.з. ошибки при заданной полосе точно так же, как это делалось для модели I. Полученная кривая является нижней кривой на рис. 9.6-1. Из рассмотрения этих кривых видно, что модель 11 дает меньшее значение средней квадратичной ошибки, чем модель 1. Это можно было бы ожидать вследствие увеличения фильтрующего действия заданных элементов системы при наличии обратной связи по ускорению.

Из рассмотрения модели II видно, что для полосы системы, соответствующей коррекции В, теоретическое с. к. з. ошибки равно 5,4 рад. Это меньше 7,5 рад, полученных методом проб для коррекции В. Таким образом, здесь уже не существует противоречия. Следовательно, полученная ошибка достаточно близка к теоретическому пределу; поэтому можно считать, что мы находимся в небольшой окрестности теоретического минимума, и отсюда сделать необходимые выводы о последующих приближениях.

Несмотря на то, что коррекция В дает удовлетворительное с. к. з. ошибки от порывов ветра, установившееся значение ошибки от среднего момента ветра составляет 7 рад. Следовательно, установившаяся ошибка для максимальной постоянной скорости на выходе (которая равна 200 секунд дуги в секунду или 314 рад/сек на валу двигателя) равна весьма значительной величине 62,8 рад. Подробное рассмотрение установившейся ошибки выходит за рамки этой главы. О ней идет речь лишь потому, что коррекция В может быть неудовлетворительной с других точек зрения. Для уменьшения установившегося значения ошибки используется коррекция С. Амплитудно-фазовая характеристика для варианта С при значениях сек показана на рис. 9.7-1 (нижняя кривая). При этом варианте коррекции усиление по скорости возрастает до и установившееся значение ошибки составляет от этой величины в варианте В. Новое значение установившейся ошибки можно считать удовлетворительным. Но, согласно таблице 9.7-1, это достигается ценой увеличения с. к. з. ошибки. Некоторого увеличения этой ошибки, очевидно, следует ожидать из-за сужения полосы пропускания. Отношение ошибки, полученной методом проб в модели II, к теоретической ошибке почти не меняется при переходе от коррекции В к коррекции С. Таким образом, основной недостаток коррекции С состоит в сужении полосы. Однако это сужение практически неизбежно, если мы хотим получить необходимый переходный процесс при помощи простой цепи коррекции (см. (9.7-2)).

Основной вывод из сравнения аналитического метода и метода проб применительно к расчету азимутального привода радиотелескопа при действии возмущений момента ветра состоит в следующем. Теория показывает, что среднеквадратичное значение ошибки не может быть меньше 3,4" дуги на валу двигателя). Применение метода

проб показывает, что ошибка 4,8" дуги (7,5 рад на валу двигателя) достижима при помощи простой корректирующей цепи. Помимо ошибки, вызванной ветром, необходимо учитывать установившееся значение ошибки и надежность системы. Таким образом, можно считать, что полная величина средней квадратичной ошибки азимутального привода (исключая ошибки измерения) будет превышать величину указанную в § 9.2. Следовательно, либо необходимо изменить условия задачи, либо нужно исследовать другой вариант структурной схемы антенны.