§ 5.5. Пример на применение полученной формулы

В этом параграфе мы покажем применение точной формулы решения уравнения Винера — Хопфа. С этой целью решается задача, которая рассматривалась в § 5.3 на основе временных представлений. Читатель помнит, что задача заключается в нахождении весовой функции системы или ее преобразования, которая минимизирует средний квадрат ошибки, когда входной сигнал имеет прямоугольную форму с высотой и с точками пересечения оси, распределенными по Пуассону при средней частоте Идеальным выходом будем считать сигнал такой же формы, но сдвинутый во времени на постоянную величину а. При а 0 идеальный выход запаздывает по сравнению со входом.

Во-первых, изменим общие обозначения, примененные в в соответствии с функциями, характерными для данной задачи. Тогда

Поскольку спектральная плотность любого сигнала является деленным на преобразованием Фурье корреляционной функции сигнала, то отсюда следует, что

где

Подобно этому, взаимную спектральную плотность можно определить как преобразование Фурье взаимно-корреляционной функции. Тогда

где

Преобразуя корреляционную функцию (5.3-3) и взаимио-корреляционную функцию (5.3-6), находим

Таким образом, имеем

Следующим шагом решения нашей задачи является разложение на множители. Поскольку такое разложение единственно с точностью до постоянной, то можно включить любую постоянную в Выбор этой постоянной, очевидно, не влияет на определение весовой функции системы.

Обычно удобьо придать по возможности более простой вид. Считая множителем все нули и полюсы которого лежат в левой полуплоскости, имеем

Следовательно,

Поэтому отношение дается выражением

Поскольку это отношение является трансцендентной функцией, мы вычислим с помощью (5.4-26) и (5.4-27). Применив (5.4-27), получим

Объединяя экспоненты, находим

Этот интеграл вычисляется с помощью интегрирования по контуру, охватывающему левую полуплоскость, при условии, что равно или больше нуля. Значение интеграла на полуокружности, охватывающей левую полуплоскость, при О равно нулю. Поэтому равно сумме вычетов в полюсах подынтегральной функции, лежащих в левой полуплоскости. Так как вычет — в единственном полюсе при то имеем

Рис. 5.5-1. Функция

При мы должны воспользоваться контуром в правой полуплоскости, чтобы иметь интеграл по полуокружности, равный нулю, а так как в правой полуплоскости нет полюсов, то отсюда следует, что

На рис. 5.5-1 показан вид при положительном и отрицательном а. Выражение для справедливое во всей временной области, будет

где — функция единичного скачка.

Теперь мы можем вычислить с помощью (5.4-26)

Вынося постоянный экспоненциальный множитель за знак интеграла, получим

При выполнении интегрирования следует различать два случая: один для и второй для . В первом случае имеем

что преобразуется в

Во втором случае

что эквивалентно

Функция в (5.4-28), как показывает (5.5-1), тождественна с Таким образом, используя выражение (5.5-12), определяем передаточную функцию системы

Читатель заметит, что передаточная функция, заданная соотношениями (5.5-26) и (5.5-27), соответствует весовой функции, заданной соотношениями (5.3-7) и (5.3-8), так как первая из них является преобразованием Фурье второй. Ввиду большого количества вычислений, потребовавшихся для решения данной задачи в частотной области, читатель может подвергнуть сомнению полезность точной формулы. Прежде чем делать заключения о легкости или трудности решения задач в частотной области, читателю следовало бы решить более сложный пример, чем тот, который выбран здесь с иллюстративными целями. Обычно решение интегрального уравнения во временной области не настолько очевидно, как в примере из § 5.3.

В дальнейшем будет показано, что для большинства задач, в которых встречаются преобразуемые функции, решение уравнения Винера — Хопфа предпочтительнее в частотной области, если только преобразования не являются слишком сложными.