§ 8.4. Определение весовой функции системы с минимальной полосой при учете ограничений показателей качества

Так как, согласно § 8.3, задача мииимизации полосы эквивалентна задаче минимизации среднеквадратичного значения шума на выходе системы регулирования, то необходимо определить весовую функцию системы, которая минимизирует среднеквадратичное значение этого шума при учете ограничений показателя качества. Это — изопараметрическая задача, и следовательно, для ее решения применимы методы вариационного исчисления.

В процессе решения прежде всего составляется выражение для среднего квадрата шума, преобразованного системой и фильтром. Далее составляется выражение для показателя качества в зависимости от весовой функции системы, когда последняя находится под воздействием регулярного или случайного сигналов. С помощью метода множителей Лагранжа записывается функционал в виде линейной комбинации величины среднего квадрата шума на выходе фильтра и членов, каждый из которых равен множителю Лагранжа, умноженному на показатель качества. К этому функционалу можно применить метод вариаций и получить интегральное уравнение, решение которого определяет весовую функцию оптимальной системы как функцию множителей Лагранжа. Это интегральное уравнение должно быть в общем случае уравнением Винера — Хопфа. Если заданные функции в интегральном уравнении аналитические и, следовательно, имеют ичображения, то решение уравнения можно получить в замкнутой форме при помощи разложения спектров на множители (см. § 5.4). Если же заданные функции не аналитические, то либо их можно аппроксимировать аналитическими функциями и затем получить решение в замкнутой форме, либо можно решить интегральное

уравнение численно. В любом случае полученная весовая функция будет зависеть от множителей Лагранжа. Множители Лагранжа выбираются так, чтобы удовлетворить ограничениям, наложенным на показатель качества. Наконец, определив соответствующие значения множителей, можно записать выражение для передаточной функции оптимальной системы. В заключение передаточную функцию можно выразить в зависимости от ширины полосы, если использовать калибровку на основании экспериментального определения полосы.

Рис. 8.4-1. Вариационной задача. Определить весовую функцию минимизирующую величину (О при ограничении показателей качества.

Для пояснения процесса решения рассмотрим задачу, в которой за показатель качества принята интегральная квадратичная ошибка при регулярном входном сигнале. Следует определить весовую функцию системы, которой соответствует минимальная полоса пропускания. Задание лишь одного показателя качества для регулярного сигнала не является серьезным ограничением. Это сделано для упрощения получения необходимого интегрального уравнения. Обобщение производится лишь в описательной форме, и мы предоставляем читателю применить метод к его частной задаче.

Задача в ее общей форме, а также терминология, использованная в выкладках, становятся ясными при рассмотрении рис. 8-4.1. Поскольку выкладки, которые необходимо проделать, подобны выкладкам в главе 7, то значительная их часть опускается.

Прежде всего определяется средний квадрат сигнала на выходе фильтра как функционал от при помощи интеграла свертки, а именно

После возведения в квадрат получаем

Вспоминая, что

и

получаем желаемое выражение в области времени для величины среднего квадрата выходного сигнала, преобразованного фильтром:

Здесь мы ищем функцию которая дает минимум при заданном ограничении величины интегральной квадратичной ошибки. Чтобы учесть это ограничение, определяется интегральная квадратичная ошибка как функционал от Так как

то

где

и, следовательно,

Вспоминая определение передающих функций, имеем

откуда

Следовательно,

Функционал, который необходимо минимизировать, тогда запишется в виде

Здесь нужно заменить на и выполнить следующую операцию:

В результате получаем интегральное уравнение

Зто уравнение Винера — Хопфа вида

где приняты обозначения

Решение этого уравнения определяет весовую функцию системы как функцию множителя Лагранжа Если заданные функции не аналитические, то решение определяется либо численными методами, либо производится приближение этих функций аналитическими, а затем используется разложение изображений на множители. Если заданные функции аналитические, то метод разложения функции спектральной плотности на множители применим непосредственно. Вводя изображения Фурье для (8.4-15), (8.4-16) и (8.4-17), имеем

Решение для передаточной функции оптимальной системы тогда имеет вид

где приняты те же обозначения, что и в главе 5.

Выражение для является функцией множителя Лагранжа Значение после того, как найдено решение, определяется так, чтобы удовлетворить ограничениям интегральной квадратичной ошибки. После вычисления на основании (5.4-28) передаточная функция оптимальной системы оказывается полностью определенной.

Теперь можно записать весовую функцию как функцию ширины полосы, если использовать калибровку для нахождения полосы пропускания из опыта. Для этого определяется средний квадрат сигнала на выходе системы регулирования, преобразованного фильтром, как функция и приравнивается среднему квадрату выходного сигнала стандартной системы, преобразованного фильтром. Это дает соотношение между — параметром стандартной системы, определяющим ширину полосы. Используя ограничения, можно выразить , следовательно, через предельно допустимое значение показателя качества. Это соотношение показывает влияние ограничения интегральной квадратичной ошибки на ширину полосы пропускания системы и, следовательно, дает много полезного для понимания системы.

В результате исследования получена весовая функция системы, удовлетворяющей определенным требованиям в отношении интегральной квадратичной ошибки для заданного регулярного входного сигнала и имеющей минимальную возможную полосу пропускания. Для иллюстрации рассмотрим несколько примеров.