2. Переход к преобразованию Лапласа

Требование сходимости интеграла накладывает на класс преобразуемых по Фурье функций определенное ограничение. Такие употребительные в технике функции, как функция единичного скачка, линейная функция или периодическое колебание, в строгом смысле не являются преобразуемыми по Фурье. Если несколько ослабить требование сходимости путем введения экспоненциального множителя, обеспечивающего сходимость, то класс преобразуемых функций существенно расширится. В этом плане мы покажем, что преобразование Лапласа является специальным случаем преобразования Фурье.

Предположим, что шкала времени выбрана так, что функция представляет интерес только при кроме того, введем множитель Тогда условие сходимости, которому должна удовлетворять функция будет следующим:

Нижняя граница множества чисел а, обеспечивающих сходимость интеграла, называется абсциссой абсолютной сходимости и

обозначается через Теорема о преобразовании Фурье дает

Умножая обе части этого соотношения на и заменяя переменную интегрирования на получим

Чтобы обеспечить теперь выполнение условия сходимости при интегрировании по переменной ее действительная часть должна быть больше чем Обозначим это значение через с. Мы можем, далее, рассматривать как комплексную переменную и заменить ее на Отсюда непосредственно следует

где Эти два уравнения составляют прямое и обратное преобразования Лапласа, используемые в данной книге.