§ 8.5. Примеры, иллюстрирующие метод

В первом примере рассматривается следящая система по положению; желаемый сигнал на выходе совпадает с входным; регулярная составляющая входного сигнала является линейной функцией времени с момента Задача заключается в определении весовой функции системы, обеспечивающей минимум полосы пропускания при ограничении интегральной квадратичной ошибки для регулярной составляющей. Для экспериментального определения полосы пропускания используется источник белого шума; при этом функция спектральной плотности постоянна и не зависит от частоты. Следовательно, для экспериментального определения полосы передаточная функция фильтра равна единице, а передаточная функция стандартной системы может быть принята биномиальной первого порядка. Этот выбор источника шума и фильтра приводит к тому, что оптимальная система будет обладать скоростью изменения частотной характеристики в окрестности частоты среза по крайней мере 10 децилог на декаду, так как меньшая скорость изменения приводит к бесконечному значению среднего квадрата шума на выходе фильтра. Для стандартной системы принята биномиальная характеристика, так как в этом случае ее фильтрующее действие легко обозримо и среднеквадратичное значение шума на выходе фильтра можно легко вычислить как функцию ширины полосы пропускания. Сформулированную устно задачу запишем теперь при помощи математических символов.

Необходимо определить. Мы хотим определить функцию обеспечивающую минимум полосы пропускания и удовлетворяющую ограничению интегральной квадратичной ошибки.

Решение. Общее решение, приведенное в § 8.4, применимо и к данному примеру. Так как в условиях задачи фигурируют аналитические функции, то целесообразно искать решение в частотной области.

Изображение входной передающей функции определяется формулой

Это следует из (2.4-30). Но

и, следовательно,

Так как желаемый выходной сигнал равен входному, то взаимная передающая функция равна передающей функции следовательно,

Теперь

Следовательно,

Также имеем

Таким образом,

Это можно записать в более простой форме

где

Далее раскладывается на произведение где

Здесь разложение на множители получается симметрично с полюсом в точке связанным с левой полуплоскостью, и полюсом в точке связанным с правой полуплоскостью.

Теперь запишем выражение

Учитывая получаем

Производя разложение на простые дроби правой части получаем

Необходимо определить только так как только членам с этими коэффициентами соответствуют полюсы в левой полуплоскости; а, просто определяется формулой

Отметим, что является вычетом полюса в начале координат. Следовательно, согласно правилу вычисления вычета кратного полюса, имеем (приложение 1)

Таким образом,

Следовательно,

Теперь, подставляя (8.5-16) и (8.5-24) в (5.4-28), находим изображение весовой функции оптимальной системы в виде

или

где определяется формулой (8.5-15) как функция множителя Лагранжа.

Теперь остается определить величину так, чтобы удовлетворялось ограничение интегральной квадратичной ошибки. Используя теорему Парсеваля и таблицу интегралов, приведенную в приложении V, получаем

Следовательно,

Для того чтобы решить, знак равенства или неравенства использовать в (8.5-28), необходимо вначале найти средний квадрат ошибки на выходе фильтра как функцию параметра Спектральная плотность сигнала на выходе фильтра определяется формулой

Используя формулу

получаем

Теперь ясно, что для получения наименьшего возможного значения необходимо в (8.5-28) выбрать знак равенства, а должно быть возможно меньшим. Решая (8.5-28) относительно находим

Параметр можно выразить как функцию параметра используя эксперимент по определению полосы, как механизм калибровки. Средний квадрат выходного сигнала стандартной системы после прохождения его через фильтр, как функция параметра и амплитуды шума, определяется формулой

Для нашего примера получаем

Приравнивая правые части (8.5-31) и (8.5-34), имеем

Следовательно, для передаточной функции системы с минимальной полосой получаем

где

или

Эта система имеет коэффициент демпфирования, равный -Интересно заметить, что этот метод дает коэффициент демпфирования, который считается наилучшим с точки зрения практических рекомендаций. Интересно также заметить, что скорость спада частотной характеристики 10 децилог на декаду в окрестности частоты среза для этой системы является минимальным возможным значением при заданных условиях определения полосы пропускания.

Во втором примере рассмотрим ту же задачу, но при условии, что скорость спада в окрестности частоты среза должна быть не меньше 20 децилог на декаду. Это условие можно просто выполнить за счет выбора ширины полосы экспериментального фильтра,

который должен быть дифференциатором первого порядка. Следовательно, выбираем

Рис. 8.5-1. Ошибка системы при линейном воздействии на входе.

Для того чтобы обеспечить конечное значение средней квадратичной величины сигнала стандартной системы на выходе фильтра в течение эксперимента по определению ширины полосы, передаточная функция стандартной системы выбирается в виде

так что произведение убывает по крайней мере со скоростью для больших

Весовая функция оптимальной системы во втором примере определяется так же, как в первом, и следовательно, детали, связанные с ее вычислением, можно опустить. Окончательный результат определяется формулой

где

или

Считая ширину полосы постоянной, из (8.5-38) и (8.5-43) видим, что необходимая скорость спада 20 децилог на декаду получается ценой значительной величины интегральной квадратичной ошибки. На рис. 8.5-1 приведены кривые ошибки в функции времени для двух примеров. Из этих кривых видно влияние скорости спада характеристики в окрестности частоты среза на переходный процесс в системе. При большей скорости спада имеет место более резкий пик частотной характеристики системы.

Это показано на рис. 8.5-2.

С другой стороны, для заданной предельной величины интегральной квадратичной ошибки ширина полосы, необходимая для большей скорости спада, во втором примере на превышает соответствующую величину в первом примере.

Рис. 8.5-2. Различные функции для примеров 1 и 2.

Третий пример отличается от первого тем, что по условию желаемый сигнап на выходе запаздывает относительно входного на Т секунд. Это реальная задача, так как запаздывание выходного сигнала часто встречается на практике. Например, если при воспроизведении сигнала системой существенна лишь форма сигнала, то желаемый выходной сигнал может запаздывать относительно входного. Интересно знать, как время запаздывания влияет на передаточную

функцию оптимальной системы регулирования и на ширину полосы системы. Математическая постановка задачи следующая.

Дано.

Необходимо определить. Мы хотим определить весовую функцию оптимальной системы, обеспечивающую минимум среднего квадрата сигнала на выходе системы (после фильтра) при ограничении интегральной квадратичной ошибки

Решение. Для получения изображения весовой функции непосредственно по данным задачи снова можно воспользоваться результатом § 8.4. Решение имеет вид

где

и

Воспользовавшись (2.4-30), получим

причем

и

Тогда имеем

Следовательно,

Мы получаем выражение для Л (5) точно так же, как в первом примере

где

Два множителя функции запишутся в виде

Тогда для получаем

Наличие здесь множителя указывает, что это выражение иррационально. Таким образом, для определения можно использовать формулы (5.4-26) и (5.4-27). Однако полученный таким образом результат будет содержать множитель , следовательно, будет еще сложным. Для дальнейшего упрощения аппроксимируем множитель несколькими членами ряда

При аппроксимации запаздывания с 10-процентной точностью модуль не должен превышать единицы. Влияние такой аппроксимации будет ясно из дальнейшего.

Используя (8.5-56) и (8.5-55), имеем

Для определения разложим (8.5-57) на простые дроби и удержим только члены с полюсами в левой полуплоскости, а именно полюс при Таким образом, получаем

После определения постоянных находим

Подставляя эти значения в (8.5-58), будем иметь

Окончательно, подставляя (8.5-16) и (8.5-61) в (5.4-28), найдем формулу

Для проверки нашего результата отметим, что при Т = 0 (8.5-62) переходит в (8.5-25), результат, полученный в первом примере.

Далее определим интегральную квадратичную ошибку системы, которая для линейно возрастающего входного сигнала выражается формулой (8.5-62). После некоторых вычислений приходим к следующему выражению интегральной квадратичной ошибки:

Далее, средний квадрат выходного сигнала, пропущенного через фильтр, равен

Для стандартной системы средний квадрат сигнала на выходе фильтра был определен ранее и равен

Следовательно, приравнивая (8.5-64) и (8.5-34), определим ширину полосы калибровки формулой

Используя значения Т и как заданные условиями задачи, мы можем вычислить из (8.5-63) величину и после этого на основании (8.5-65) определим ширину полосы Теперь возникает вопрос: так как параметры передаточной функции лриближенной оптимальной системы зависят от Т (см. (8.5-62)), то существует ли такое значение Т, при котором полоса пропускания минимальна для заданного значения интегральной квадратичной ошибки?

Ответ дает рис. 8.5-3, где вычерчена кривая зависимости ширины полосы от Т.

Рис. 8.5-3. Зависимость ширины полосы от времени запаздывания Т, где

Видно, что при увеличении Т от нуля до некоторого значения происходит сужение полосы приблизительно в шесть раз, но затем, при дальнейшем увеличении Т, полоса расширяется и, следовательно, увеличивается шум, передаваемый системой. Оптимальное значение Т, равное определяется формулой

Минимальная ширина полосы, соответствующая этому значению, равна

и

Здесь мы должны предостеречь читателя. Сделанное заключение основывается на получении оптимальной системы при аппроксимации

запаздывания степенным рядом. Выберем аппроксимацию в виде

или любую другую аппроксимацию Пейда (см. [45], стр. 550), когда числитель отличен от единицы. Тогда будет иметь более сложный вид, так как полюсы в левой полуплоскости приближенного выражения для появятся в передаточной функции оптимальной системы. Мы могли бы использовать формулы (5.4-26) и (5.4-27) для определения непосредственно, не прибегая к приближенному представлению запаздывания. Однако полученное таким образом выражение было очень сложным и содержало бы множитель Аппроксимация в форме ряда была использована, чтобы показать влияние запаздывания между входным и желаемым выходным сигналами на ширину полосы, именно сужение полосы с увеличением запаздывания. Приближенная оптимальная система позволяет выбрать оптимальное значение Т, как это видно из рис. 8.5-3. Если, однако, не пользоваться приближенным соотношением между шириной полосы и временем запаздывания, хотя это очень сложно математически, то окажется, что для конечного значения Т не существует минимума и ширина полосы является монотонно убывающей функцией Т. Это совпадает с тем, что можно было ожидать интуитивно. После того как приведены основания для нашего подхода к задаче, обратимся к остальной части решения.

На основании (8.5-66) и (8.5-62) передаточная функция системы запишется в виде

Рис. 8.5-4. Сравнение частотных характеристик.

Чтобы оценить преимущества и недостатки, связанные с введением запаздывания, сравним полученный результат с результатом первого примера, в котором запаздывание отсутствовало. Из рис. 8.5-4 видно, что система с запаздыванием не имеет заметного резонансного пика по сравнению с таковой в первом примере. Амплитудная характеристика в первом примере имеет пик, равный приблизительно 1,3. Из рис. 8.5-5 видно, что происходит уменьшение пикового значения ошибки в пять раз. Можно заметить также, что ошибка в третьем примере имеет значительно меньшее среднее значение в течение первых четырех единиц нормированного времени.

Ошибка, средняя величина которой стремится к нулю, часто более желательна, чем ошибка одного знака. Нужно также отметить, что уменьшение пикового значения ошибки и интегральной квадратичной ошибки для заданной полосы оказалось возможным только благодаря запаздыванию между входной и выходной информацией.

Рис. 8.5-5. Ошибка при линейном входном воздействии.

Если выбрать для реализации весовой функции оптимальной системы простую систему с единичной обратной связью, то получим следующее соотношение между передаточной функцией разомкнутой системы и передаточной функцией замкнутой системы:

Для первого примера получаем

Для третьего примера передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Практически значительно проще реализовать функцию которая имеет только одно интегрирующее звено, чем функцию, содержащую два интегрирующих звена, такую, как

Таблица 8.5-1. (см. скан)

Таким образом, допуская запаздывание между входным и желаемым выходным сигналами, мы получаем уменьшение интегральной квадратичной ошибки и пиковой ошибки для заданной полосы. Кроме того, упрощается реализация оптимальной системы при помощи системы с обратной связью и уменьшается интеграл по времени от функции ошибки. В таблице 8.5-1 приведены основные результаты, относящиеся к трем примерам.