7. Метод корневых годографов

Одним из недостатков метода расчета при помощи частотной характеристики, рассмотренного здесь и в приложении IV, является трудность получения переходного процесса, соответствующего этой, частотной характеристике. Кроме того, при некоторых условиях критерии в частотной области, применяемые для определения степени.

устойчивости системы, могут оказаться неудовлетворительными. Метод корневых годографов был развит для того, чтобы преодолеть эти трудности. Корневые годографы системы являются геометрическим местом полюсов замкнутой системы в комплексной плоскости в зависимости от коэффициента усиления. Можно непосредственно определить степень устойчивости системы, наблюдая перемещение полюсов замкнутой системы при изменении коэффициента усиления. Так, если относительно малое изменение коэффициента усиления приведет к переходу полюсов замкнутой системы в правую полуплоскость, то система имеет малую степень устойчивости. Метод корневых годографов подробно рассматривался в [43] и [45].

Если обратиться к рис. 1.7-1, то легко видеть, что полюсы передаточной функции замкнутой системы определяются корнями уравнения

где

Корни можно найти из двух условии

и

Если

где представляет нуль полюс то условие (III.7-3) для угла можно записать в виде

где — угол вектора, проведенного из нуля к точке — угол вектора, проведенного из полюса к точке Это уравнение показывает, как строятся корневые годографы. Точка в -плоскости лежит на корневом годографе, если сумма фазовых углов при повороте луча, проведенного от нулей разомкнутой системы к точке минус сумма фазовых углов при повороте луча, проведенного от всех полюсов разомкнутой системы к точке равна 180°. Корневой годограф

строится при помощи проверки условия (III.7-6) для каждой точки После того как годограф построен, условие (III.7-4) используется для определения коэффициента К, соответствующего данной точке годографа, именно

где - амплитуда вектора, проведенного из полюса в точку годографа; — амплитуда вектора, проведенного из нуля в соответствующую точку годографа. При построении корневых годографов обычно тратится много времени, так как при этом используется метод проб.

Из амплитудных и фазовых соотношений были получены некоторые теоремы, позволяющие ускорить процесс построения годографов. Эти теоремы представлены ниже.

1. Корневые годографы симметричны относительно действительной оси.

2. Число ветвей корневого годографа равно числу корней характеристического уравнения (III.7-1).

3. Корневые годографы начинаются (при ) в полюсах разомкнутой системы и (при заканчиваются в нулях разомкнутой системы.

4. Если некоторые ветви годографа лежат целиком на действительной оси, то на этих ветвях всегда имеется нечетное число действительных нулей и полюсов разомкнутой системы, расположенных в правой полуплоскости для

5. Если ветвь корневого годографа отклоняется от действительной оси между двумя полюсами передаточной функции разомкнутой системы, то началом отклонения годографа от действительной оси служит точка максимального К для этой ветви.

6. Если корневой годограф из комплексной плоскости переходит на действительную ось и совпадает с последней на интервале между двумя нулями передаточной функции разомкнутой системы, то точка соприкосновения с действительной осью определяет минимальное значение К на этом интервале действительной оси.

7. В окрестности комплексных полюсов разомкнутой системы направление годографа определяется углом

где — сумма углов векторов, проведенных из всех нулей в рассматриваемый комплексный полюс; сумма углов векторов, проведенных из всех полюсов в рассматриваемый полюс. В окрестности

комплексных нулей разомкнутой системы направление годографа дается выражением

где определяются аналогично

8. Направление прямолинейных асимптот годографа для больших значений определяется выражением

где М — число полюсов, а -число нулей разомкнутой системы Пересечение асимптот с действительной осью является центром симметрии распределения нулей и полюсов разомкнутой системы в комплексной плоскости: