7. Расширение класса преобразуемых по Фурье функций с помощью множителя сходимости

В заключение рассмотрим класс функций, в строгом смысле почти преобразуемых по Лапласу, с нулевым значением абсциссы абсолютной сходимости. Этот класс функций включает все функции которые удовлетворяют условиям Дирихле, возрастают при больших значениях не быстрее, чем где — конечное число, и имеют нулевое значение при отрицательных Прямое и обратное преобразования Фурье функций из этого класса могут быть найдены, как показано ниже на примере, посредством предельного перехода.

Рассмотрим следующую функцню:

Ясно, что эта функция в строгом смысле непреобразуема по Фурье, так как не является конечным. Пусть теперь

Тогда преобразование Фурье

и после вычисления интеграла получим

Следовательно,

является преобразованием Фурье для при стремящемся к нулю.

Чтобы выполнить обратное преобразование, мы должны прежде всего записать преобразование (1.7-5) в форме (1.7-4). Это

делается для того, чтобы устранить особые точки на пути интегрирования вдоль мнимой оси, поскольку по теореме Коши о вычетах особые точки на контуре с недопустимы. Обратное преобразование Фурье в таком случае получается путем применения (1.5-13)

Следовательно,

и исходная функция времени восстановлена. Чтобы устранить сингулярность в (1.7-5) на пути интегрирования при мы могли бы также выбрать для вид

где сингулярность сдвинута в правую полуплоскость. Обратное преобразование соотношения (1.7-8) легко находится после перехода к пределу

Сравнивая выражения (1.7-7) и (1.7-9), мы видим, что они совершенно различны. Первое отлично от нуля при больше нуля, а второе — при меньше нуля. Таким образом, при распространении преобразования Фурье на класс функций, у которых преобразования Лапласа имеют полюсы только в левой полуплоскости и на конечном отрезке мнимой оси, мы находим, что свойство единственности прямого и обратного преобразований Фурье утрачивается, так как значение обратного преобразования зависит теперь от направления, по которому берется предел. Это ограничение не является, как может показаться, непреодолимым, так как в общем очевидно, в каком направлении следует брать предел, поскольку двум возможным результатам соответствуют две отчетливо различимые области переменной а именно: положительные и отрицательные. Таким образом, при заранее известной области обратное преобразование Фурье может быть определено единственным образом. Этим заканчивается обсуждение применения преобразования Фурье к широкому классу функций, возрастание которых при больших не быстрее чем где конечно.