§ 7.4. Примеры

Для демонстрации методов расчета, изложенных в этой главе, рассмотрим два примера минимизации среднего квадрата ошибки при ограничении типа насыщения.

В первом примере рассматривается система с обратной связью; входной сигнал состоит из случайной полезной составляющей и шума. Полезная состаяляющая входного сигнала имеет производную в виде белого шума с нулевым средним значением. Помеха представляет собой белый шум с нулевым средним значением. Полезная составляющая и шум некоррелированы между собой, желаемым сигналом на выходе является полезная составляющая входного сигнала. Скорость на выходе системы испытывает насыщение. Требования задачи состоят в минимизации среднего квадрата ошибки при ограничении с.к.з. скорости на выходе величиной Элемент в цепи обратной связи имеет передаточную функцию, равную единице, и заданные элементы системы являются мннимально-фазовыми.

Сформулируем задачу в терминах (см. рис. 7.4-1).

Необходимо определить передаточную функцию корректирующего элемента, при которой у достигает минимума и выполняется условие минимально-фазовыми.

Решение. Как было показано в § 6.3, нам не требуется информации о заданных элементах системы, так как они являются

Рис. 7.4-1. Коррекция системы с частичным ограничением структуры при насыщении производной выходного сигнала.

Таким образом, для расчета можно принять Тогда на основании данных задачи и рис. 7.4-1, очевидно, имеем

Подставляя данные задачи в (7.3-18) и (7.3-19), получаем

Так как некоррелированы, то имеем

Следовательно, (7.4-9) и (7.4-10) принимают вид

Положив для удобства представим согласно методу, изложенному в § 5.4, в виде двух множителей, имеющих нули и полюсы соответственно в правой и левой полуплоскостях. Для сомножителя с нулями и полюсами в правой полуплоскости получим

Тогда принимает вид

После разложения (7.4-16) на простые дроби сохраняем только часть разложения, связанную с полюсами в левой полуплоскости, а именно

Разделив обе части уравнения (7.4-17) на получаем передаточную функцию системы, которая обеспечивает минимум как функцию

Для завершения решения необходимо учесть ограничение скорости на выходе. Согласно рис. 7.4-1 для изображения сигнала, подверженного насыщению, имеем

Следовательно, спектральная плотность функции имеет вид

Подставляя из (7.4-12) и (7.4-18), получаем

Теперь для среднего квадрата скорости на выходе можно записать

Подставляя сюда из (7.4-21), приходим к выражению

Вычисляя интеграл, находим

Далее, вычисляется средний квадрат ошибки и затем определяется так, чтобы удовлетворить ограничению значения скорости на выходе и одновременно обеспечить минимум среднего квадрата ошибки.

Функция спектральной плотности определяется формулой (см. (4.4-12))

Подставляя получаем

где

Так как средний квадрат ошибки определяется формулой

то для его вычисления можно воспользоваться таблицей интегралов в приложении V. Тогда находим

Отсюда видно, что минимально, когда имеет наименьшее возможное значение. Величина должна быть выбрана наименьшей при

условии выполнения (7.4-24). Следовательно, значение должно определяться формулой

Тогда для функции, дающей минимум среднему квадрату ошибки, получим

Минимальная величина среднего квадрата ошибки равна

Свойство рассмотренной системы зависит от отношения сигнала к шуму, равного отношения «насыщения» . Если не ограничивать скорость на выходе, то минимальное возможное значение у будет равно

Следовательно, абсолютный нижний предел нормированной ошибки определяется отношением сигнала к шуму. Увеличение этого отношения уменьшает нижний предел. Так как нижний предел нормированной величины среднего квадрата ошибки является абсолютным теоретически достижимым пределом, то весьма важно правильно описать схему ограничений, определяемую условиями задачи. Можно выразить наш результат в более сжатой форме, разделив с.к.з. ошибки на и таким образом нормируя ее. При этом удобно ввести следующие обозначения:

— нормированная средняя квадратичная ошибка при наличии ограничений;

— нормированная средняя квадратичная ошибка при отсутствии ограничений.

Тогда имеем

Нормированную минимальную среднеквадратичную ошибку при наличии ограничений можно выразить в функции и отношения «насыщения» а именно

Формула (7.4-35) представляет нормированную форму «рабочей характеристики» задачи; она показывает, как нужно выбрать ошибку для линейной области. Таким образом, чем больше величина линейной области (измеренная в тем ближе мы подходим к абсолютному минимуму ошибки, получающейся при отсутствии ограничения Последующие рассуждения связаны с кривыми рис. 7.4-2, где цифры 1 и 0,1 для введены для обозначения зависимости кривых от абсолютной минимальной ошибки (и, следовательно, от отношения сигнал/шум). Изучая эти кривые, мы видим, что по мере увеличения отношения сигнал/шум требуется более широкая линейная область изменения для достижения абсолютного минимума средней квадратичной ошибки связанной с данным отношением сигнал/шум.

При отсутствии ограничений с.к.з. насыщенного сигнала независимо от отношения сигнал/шум обращается в бесконечность. Однако когда с.к.з. насыщенного сигнала имеет конечную величину, то с.к.з. ошибки увеличивается ко сравнению со своим абсолютным минимумом, достигаемым при данном отношении сигнал/шум. Из (7.4-32) видно, что ошибка состоит из двух составляющих — одна связана с наличием шума, а другая с наличием ограничения типа насыщения. Когда отношение сигнал/шум велико, то доминирует составляющая ошибки, связанная с насыщением, и полная ошибка более чувствительна к изменению ограничений, связанных с насыщением. Наоборот, для малых величин отношения сигнал/шум преобладает составляющая ошибки, связанная с шумом, и необходимо значительно уменьшить линейную область для того, чтобы ошибка возросла на ощутимую величину по сравнению с абсолютным минимумом для данного отношения сигнал/шум.

Интересно отметить, что решение рассмотренной задачи совпадает с решением задачи, в которой передаточная функция заданных элементов системы имеет вид и насыщающимся сигналом является сигнал на входе заданных элементов. Разумеется, в обеих задачах свойства входного сигнала одни и те же. Тождественность этих двух задач легко видеть, рассматривая рис. 7.4-3, на котором представлены схемы двух задач. Из рисунка следует, что

Рис. 7.4-2. Кривые для первого примера.

Во втором примере применим метод ограничения насыщения для расчета сервомеханизма положения, в котором имеется двигатель с регулируемым магнитным полем. На рис. 7.4-4 показана схема сервомеханизма. Якорь шунтового двигателя питается от источника постоянного тока (не показанного на рисунке). Магнитное поле, определяемое током возбуждения, создает момент, который воздействует на якорь, причем величина момента пропорциональна величинам тока якоря и тока возбуждения. Предполагается, что единственной нагрузкой на выходе является момент инерции выходного звена.

Рис. 7.4-3. Эквивалентные схемы для двух задач на минимум с ограничением типа насыщения.

Следовательно, ускорение выходного звена пропорционально потоку возбуждения. Поток возбуждения определяется током возбуждения, поступающим с усилителя. Усилитель получает сигнал от вращающегося трансформатора, который служит для измерения сигнала ошибки или разности между входом и выходом. Сигнал ошибки демодулируется и через устройство подается на вход усилителя. Этот тип сервомеханизма иногда используется в технике. Преимущество двигателя с регулируемым потоком возбуждения состоит в том, что основная мощность, необходимая для вращения двигателя, не регулируется, так как она потребляется в цепи якоря. Усилитель изменяет только мощность в цепи возбуждения, которая обычно составляет лишь малую часть общей мощности.

Расчет системы состоит в определении передаточной функции корректирующего звена при заданном входном сигнале. При этом необходимо, чтобы средняя квадратичная ошибка составляла менее 1 % от среднего квадратичного значения входного сигнала и не было заметного влияния насыщения. В двигателе вместе с усилителем

насыщение может проявиться двояко. Во-первых, усилитель способен ограничивать напряжение питания цепи возбуждения. Во-вторых, поток возбуждения, определяемый током возбуждения, пропорционален этому току до тех пор, пока величина тока не превосходит некоторого значения.

Рис. 7.4-4. Схема сервомеханизма, в котором применен двигатель с регулируемым возбуждением.

Следовательно, задаче, с которой мы здесь встречаемся, соответствует схема рис. 7.4-5. Необходимо найти передаточную функцию эквивалентного корректирующего звена, обеспечивающего минимум среднего квадрата ошибки между желаемым и действительным сигналами на выходе при ограничении напряжения на выходе усилителя и тока возбуждения двигателя.

Рис. 7.4-5. Эквивалентная схема системы с регулируемым возбуждением двигателя.

Определение среднеквадратичного значения ошибки для этой коррекции укажет, удовлетворяет ли полученное значение ошибки условиям

задачи. Передаточная функция корректирующей цепи устанавливает связь между входом и выходом усилителя Имеются две передаточные функции, связывающие напряжение на выходе усилителя с сигналами, подверженными насыщению. Обозначим эти функции через Первая из этих функций тождественно равна единице, а вторая совпадает с полной проводимостью цепи возбуждения. Передаточная функция заданных элементов определяется согласно рис. 7.4-5, где есть ускорение в установившемся режиме, приходящееся на единицу напряжения возбуждения. Постоянная времени цепи возбуждения равна отношению индуктивности цепи возбуждения к ее сопротивлению. Предполагается, что желаемый выход должен быть равен входу, так как рассматривается следящая система по положению. В качестве входного сигнала взята последовательность прямоугольных импульсов величиной причем точки пересечения этой кривой с осью абсцисс распределены по закону Пуассона с частотой Максимальное напряжение на выходе усилителя составляет в. Ток возбуждения вызывает магнитный поток, пропорциональный току до значений а далее магнитный поток практически не увеличивается при увеличении тока. Для того чтобы получить вероятность насыщения порядка необходимо так рассчитать корректирующую цепь, чтобы с.к.з. напряжения на выходе усилителя не превосходило 30 в; при этом одновременно необходимо, чтобы ток в цепи возбуждения имел значение не больше Параметры двигателя следующие:

Амплитуда входного сигнала равна 20 рад и частота равна 0,1 Таким образом, допустимой средней квадратичной ошибки составляет 0,2 рад.

Используем теперь для постановки задачи введенные ранее обозначения.

Дано. Функция спектральной плотности входного сигнала

Эта функция получена в главах 3 и 4.

Необходимо определить передаточную функцию корректирующей цепи, обеспечивающей минимум среднего квадрата ошибки при условии выполнения ограничений (7.4-43) и (7.4-44).

Решение. Задача решается согласно общей формуле (5.4-28), в которой следует положить

Эта формула для следует из § 7.3, если распространить методы этого параграфа на случай двух ограничений. Выражение для не отличается от (7.3-18).

В дальнейшем для упрощения расчета функция спектральной плотности (7.4-37) входного сигнала заменяется приближенным выражением. Отметим, что основная доля среднего квадрата ошибки и с.к.з. насыщенного сигнала связаны с высокочастотными составляющими спектра сигнала на входе. Для частот, значительно больших функция спектральной плотности ведет себя как Следовательно, функцию спектральной плотности входного сигнала можно представить в виде

Выпишем теперь выражения для Эти выражения получаются на основании заданных передаточных функций и приближенного выражения функции спектральной плотности входного сигнала (7.4-46). Также необходимо использовать тот факт, что взаимная корреляционная функция спектральной плотности между входом и желаемым сигналом на выходе равна спектральной плотности входного сигнала, так как желаемый сигнал совпадает с входным. Для нашей задачи имеем

Здесь использованы обозначения

Записывая вновь выражение для находим

где после приравнивания коэффициентов и произведения имеем

На основании выражения для решения получаем

Раскладывая на простые дроби и удерживая только члены с полюсами в левой полуплоскости, будем иметь

Разделив это выражение на получим

Эта формула определяет передаточную функцию эквивалентного последовательного корректирующего звена, удовлетворяющего требованиям задачи. Коэффициенты в знаменателе являются функциями множителей Лагранжа. Следующий шаг состоит в выражении среднеквадратичного значения насыщенного сигнала через эти коэффициенты. На основании рис. 7.4-5 для функции спектральной плотности напряжения на выходе усилителя имеем

После подстановки в эту формулу выражений передаточных функций и функции спектральной плотности входного сигнала получаем

где

Средний квадрат напряжения на выходе усилителя находится интегрированием функции спектральной плотности вдоль мнимой оси. Таким образом,

Так как спектральная плотность является дробно-рациональной функцией, то интеграл можно вычислить, пользуясь таблицей интегралов в приложении V. Применяя формулу для находим

Далее находим средний квадрат тока в цепи возбуждения. Спектральная плотность тока возбуждения определяется выражением, аналогичным (7.4-60) и (7.4-61), при условии, что индекс 1 заменен индексом 2. Здесь полином в числителе имеет вид

Полином в знаменателе по-прежнему определяется формулой (7.4-63). Вычисляя интеграл для среднего квадрата ошибки тока возбуждения, находим

Формулы (7.4-65) и (7.4-67) определяют соответственно средний квадрат напряжения и тока возбуждения как функции неопределенных коэффициентов знаменателя передаточной функции корректирующего звена (7.4-59). Из формул (7.4-54) - (7.4-56) видно, что эти коэффициенты являются функциями множителей Лагранжа Следующий шаг заключается в выборе множителей Лагранжа так, чтобы удовлетворялись условия (7.4-43) и (7.4-44), относящиеся к напряжению и току возбуждения. Из (7.4-54) следует, что пропорционален Если этот множитель положить равным нулю, то также будет равно нулю и средний квадрат напряжения, согласно (7.4-65), обратится в бесконечность. Таким образом, должен иметь значение, отличное от нуля. С другой стороны, если ноюжнть второй множитель Лагранжа равным нулю, то условие ограничения

среднего квадрата тока возбуждения может оказаться ненарушенным. Следовательно, процесс выбора множителей Лагранжа состоит прежде всего в том, чтобы выбрать не нарушая условия, наложенного на напряжение возбуждения. После этого следует проверить, будет ли выполнено уравнение ограничения для тока возбуждения. Если уравнение удовлетворяется, то остается лишь выбрать наименьшее абсолютное значение среднего квадрата ошибки для случая, когда имеется несколько локальных точек минимума. С другой стороны, если для некоторого значения отличного от нуля, условие ограничения среднего квадрата тока не выполняется, то для вычисления значений следует применить метод проб; при этом в результате необходимо добиться, чтобы оба ограничения выполнялись одновременно. При выборе множителей Лагранжа удобно в формулах (7.4-54) и (7.4-56) считать а, основной постоянной времени и выразить через нее другие параметры. Разумеется, этот основной параметр является функцией двух множителей Лагранжа. Однако один множитель Лагранжа можно исключить, используя (7.4-54) и (7.4-55). Таким образом, если на основании (7.4-56) записать

то получим

Процедура состоит вначале в том, чтобы рассмотреть случай и исследовать, как изменяются в функции а, значения среднего квадрата напряжения на выходе усилителя, тока возбуждения и ошибки. Для того чтобы это проделать, необходимо иметь выражение для среднего квадрата ошибки.

Средний квадрат ошибки определяется при интегрировании спектральной плотности ошибки, которая имеет вид

где

Подставляя выражения передаточных функций и функции спектральной плотности входного сигнала, получаем

где

Вычисляя интеграл, находим

Задача теперь превращается в задачу численного анализа, при этом а, считается основным параметром. Для заданного значения а, соответствующие значения и а, определяются согласно (7.4-68) и (7.4-69). Следовательно, средний квадрат напряжения возбуждения, тока возбуждения и ошибки вначале определяются как функции при этом используются формулы (7.4-65), (7.4-67), (7.4-74). В общем случае значения среднего квадрата напряжения и тока возбуждения являются монотонно убывающими функциями в то время как значение среднего квадрата ошибки должно быть монотонно возрастающей функцией Начертив эти функции для определяем значение удовлетворяющее ограничению для напряжения возбуждения. В частности, для

имеем

Таким образом, для выбранного значения удовлетворяющего ограничению напряжения возбуждения, условие ограничения тока возбуждения автоматически выполняется и нет нужды в этом частном случае рассматривать значения отличные от нуля. Однако среднее квадратичное значение ошибки составляет около от величины среднеквадратичного значения входного сигнала. Так как по условию задачи необходимо иметь среднюю квадратичную ошибку не более то очевидно, что условия для этой задачи не могут быть удовлетворены и должны быть отвергнуты как несостоятельные.

Если предположить, что среднеквадратичное значение тока насыщения должно быть меньше 0,0246 а, то значение должно быть отлично от нуля. Из (7.4-69) видно, что положительные значения уменьшают Это в свою очередь приводит к увеличению среднего квадрата напряжения возбуждения; при этом а, также необходимо увеличить для того, чтобы удовлетворить ограничению. Так

как средний квадрат ошибки очень сильно зависит от а, (приблизительно является кубом от то очевидно, что значения отличные от нуля, приводят к увеличению ошибки.

В заключение отметим, что этот пример показывает возможность рассмотрения более одного ограничения на значения сигнала в заданных элементах системы регулирования. Кроме того, он ясно показывает преимущества аналитических методов расчета, которые дают возможность выявить несостоятельность условий задачи. Метод последовательных проб не определяет несостоятельности условий задачи в этом примере.