Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4.5. ПримерВ качестве первого примера определения значения параметра, минимизирующего средний квадрат ошибки регулируемой системы, рассмотрим задачу выбора коэффициента усиления позиционного сервомеханизма, следящего за входным сигналом с ошибкой, наименьшей в среднеквадратичном смысле. Заданный входной сигнал имеет прямоугольную форму со значениями плюс или минус Дано. Для решения задачи описание входного сигнала, приведенное в начале параграфа, заменим его корреляционной функцией. Решение зависит только от корреляционной функции и не зависит от других характеристик сигнале. Как показано в § 3.6, корреляционная функция данного входного сигнала будет
Тот факт, что вход свободен от шумов, можно записать так:
Идентичность желаемого выхода с входным сигналом устанавливается соотношением
Поскольку сервомотор описывается произведением интегрирующего звена на инерционное звено с постоянной времени
Предположение, что цепь обратной связи имеет единичную передаточную функцию, записывается соотношением
Компенсирующая цепь характеризуется выбираемым коэффициентом усиления; это выражается соотношением
Индекс Требуется найти. 1) Средний квадрат ошибки В этом заключается постановка задачи. Решение. Так как помеха во входном сигнале отсутствует, то равны нулю все корреляционные функции, включающие шум, и следовательно, равны нулю соответствующие спектральные плотности. Таким образом, в этой задаче уравнение (4.4-12) для спектральной плотности ошибки переходит в уравнение
Так как желаемый выход идентичен входному сигналу, то передаточная функция
Таким образом, передаточная функция ошибки
Спектральная плотность входного сигнала, которая получается путем преобразования Фурье корреляционной функции, заданной соотношением (4.5-1) и делением на
Подставляя передаточную функцию ошибки из (4.5-9) и спектральную плотность входного сигнала из (4.5-10) в уравнение (4.5-7), получим спектральную плотность ошибки в виде
где
и
Средний квадрат ошибки находится по спектральной плотности сигнала ошибки с помощью интеграла (4.4-2), который снова приведен здесь с тем, чтобы сохранить последовательность изложения
Этот интеграл вычислен с помощью формулы для
Это соотношение выражает средний квадрат ошибки в функции Результат, выражающий средний квадрат ошибки в функции
и
Отношение среднего квадрата ошибки к квадрату амплитуды сигнала выражается через эти нормированные параметры так:
Зададимся теперь вопросом: какое значение должно иметь К, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки? Поступая формально, дифференцируем обе стороны (4.5-17) по К и получаем
Если мы положим эту производную равной нулю, то заметим, что конечных значений R, удовлетворяющих такому уравнению, не существует.
Рис. 4.5-1. Среднеквадратичная ошибка в функции коэффициента усиления для системы второго порядка при входном воздействии прямоугольной формы со случайными нулевыми точками. Рассмотрение (4.5-8) показывает, что наклон среднего квадрата ошибки в функции К всегда отрицателен при и всегда положителен при
Рис. 4.5-2. Ошибка системы второго порядка при ступенчатом входном воздействии: с) вход; б) ошибка при На рис. 4.5-1 изменение ошибки с изменением коэффициента усиления показано графически. На этом рисунке мы предпочли взять среднеквадратичное значение ошибки, а не ее средний квадрат. Это сделано для того, чтобы нанесенные на рисунок переменные соответствовали величинам, обычно измеряемым в лаборатории. Среднеквадратичная ошибка функции К приведена при четырех значениях нормированной частоты сигнала Способность слежения возрастает с возрастанием коэффициента усиления и с уменьшением Для разъяснения весьма своеобразного результата этого примера — а именно, что для минимизации среднеквадратичной ошибки сервомеханизма, способного вообще осуществлять слежение, иужно применять бесконечный коэффициент усиления — оценим точность системы при очень больших коэффициентах усиления. Рассмотрим, как реагирует такая система на входной сигнал с единственным нулем, который показан на рис. 4.5-2,а. Ошибка реакции на этот сигнал дается соотношением
Здесь мотора. С увеличением коэффициента усиления число колебаний, охватываемых огибающей в данный отрезок времени, растет как корень квадратный из коэффициента усиления. Предположим, что значение коэффициента усиления очень велико. Число колебаний, охватываемых огибающей, также становится большим, их форма вытягивается и каждое колебание неотличимо от одного колебания синусоиды. При
Очевидно, что интеграл в правой части
Таким образом, значение интеграла от квадрата ошибки на сигнал с единственным нулем равно
Среднее число нулей в интервале Т является просто средней частотой
которое преобразуется в выражение
Это значение совпадает с тем, которое дает уравнение (4.5-17) при бесконечном К. С точки зрения наложения ошибок от сигналов с единственным нулем такой результат может показаться неожиданным. Однако следует напомнить, что нули распределены случайно, и поэтому переходные колебания являются некогерентными. В заключение следует заметить, что крайняя простота данного примера приводит к необычному результату — непрерывному уменьшению среднеквадратичной ошибки с увеличением коэффициента усиления. Это явление тесно свизано с тем фактом, что система второго порядка при увеличении коэффициента усиления никогда не становится неустойчивой. Если бы в данной задаче фиксированный элемент был более близок к действительному, то система имела бы порядок выше второго и при достаточно большом коэффициенте усиления стала бы неустойчивой. При этих обстоятельствах коэффициент усиления, соответствующий минимуму среднеквадратичной ошибки, был бы конечным. Другие примеры приведены в конце этой кнши (см. задачи) и в [23].
|
1 |
Оглавление
|