3. Диаграммы Боде

Частотная характеристика системы является наиболее удобным средством для расчета. Как естественное распространение критерия Найквиста (приложение И), который применяется для определения устойчивости системы, частотная характеристика широко используется, когда определяется степень устойчивости. Хотя исследование частотной характеристики системы в комплексной плоскости наиболее естественно, диаграммы Боде и плоскость с координатами усиление — фаза (см. приложение IV) более удобны для применения. При более детальном ознакомлении с методом Боде следует обратиться к литературе [5], [7], [8], [11], ]43].

Диаграмма Боде состоит из двух кривых: одна для амплитуды, другая для фазы. Амплитудная кривая дает зависимость амплитуды, выраженной в децилогах в функции логарифма частоты. Фазовая кривая выражает зависимость фазового угла в градусах от логарифма частоты. Логарифмический масштаб в диаграммах Боде позволяет выразить логарифмическую амплитудную характеристику для случая дробно-рациональной функции частоты как линейную комбинацию отдельных множителей. Кроме того, логарифмический масштаб частоты помогает определить асимптотические амплитудные характеристики.

Так как рациональная функция разлагается на множители — полиномы первого и второго порядка, — то целая функция может быть построена из совокупности стандартных кривых, определяющих амплитуду и фазу этих простых множителей. Имеется три основных

типа таких множителей, каждый из которых характеризуется рациональной функцией частоты. Именно:

Функция первого типа представляет дифференцирование или интегрирование. Соответствующая ей логарифмическая амплитудная характеристика является прямой линией с наклоном на декаду. Эта прямая проходит через точку с координатами

Рис. 111.3-1. Логарифмическая амплитудная характеристика апериодического звена

Фазовый угол остается постоянным и равен Асимптотические и истинные амплитудные характеристики для функций первого и второго порядков изображены на рис. III.3-1 и III.3-2 соответственно. Частота при которой асимптоты пересекают ось абсцисс, называется сопрягающей частотой. Сопрягающая частота для функции первого порядка равна

Сопрягающая частота для функции второго порядка совпадает с собственной частотой

Фазовые характеристики для функций первого и второго порядков представлены на рис. III.3-3 и III.3-4. Заметим, что фазовые кривые симметричны относительно точки При помощи стандартных кривых, представленных на рис. III.3-1-III.3-4, можно построить логарифмическую амплитудную и фазовую характеристики,

если числитель и знаменатель частотной характеристики разложены на множители. Если же используются диаграммы Боде, то амплитудную характеристику, соответствующую дробно-рациональной функции частоты, можно аппроксимировать просто асимптотическими логарифмическими характеристиками.

Рис. III.3-2. Логарифмические характеристики звена второго порядка

Таким образом, можно провести грубое предварительное исследование данной системы при условии, что ее частотная характеристика минимально-фазовая. Такое исследование становится ясным, если рассмотреть следующие приближенные соотношения. Обращаясь к рис. 1.7-1, мы видим, что если то асимптотические амплитудные характеристики для замкнутой системы с частотной характеристикой

Рис. III.3-3. Фазовая характеристика апериодического звена

(кликните для просмотра скана)

называется частотой среза. Из формул (III.3-4)-(III.3-7) следует, что асимптотой функции при низких частотах является ось абсцисс, а при высоких частотах асимптотическая характеристика совпадает с модулем частотной характеристики разомкнутой системы.

Таким образом, используя асимптотическое приближение, инженер может быстро определить частотную характеристику замкнутой системы по частотной характеристике разомкнутой системы когда последняя является дробно-рациональной функцией частоты а сама система — минимально-фазовой. Можно легко распространить этот метод на случай, когда

Для определения по диаграммам Боде коэффициента усиления, соответствующего заданной степени устойчивости, используются понятия запаса по фазе и усилению. Так как, согласно критерию Найквиста, оценка устойчивости связана с охватом точки — годографом функции в комплексной плоскости, то степень устойчивости системы можно оценивать по близости годографа к точке Если передаточная функция разомкнутой системы не имеет полюсов в правой полуплоскости, то запас по фазе и усилению определяется степенью устойчивости системы. Запас по фазе для случая передаточной функции обратной связи, равной единице, определяется как

где — частота, при которой модуль функции равен единице. По мере того как запас по фазе уменьшается, годограф все больше приближается к точкё — Запас по усилению для случая передаточной функции обратной связи, равной единице, определяется так:

где -частота, при которой фазовый угол годографа равен - 180°. По мере того как запас но усилению уменьшается, годограф все больше приближается к точке

Если определить степень устойчивости системы, задавая запас по фазе, то выбор коэффициента усиления К разомкнутой системы с функцией производится однозначно. В этом случае запас по усилению можно использовать как меру качества системы. Последовательность действия, необходимая для выбора коэффициента усиления при заданном запасе по фазе, состоит в следующем:

1. На диаграмму Боде наносится функция (К — регулируемый коэффициент усиления).

2. По фазовой характеристике определяется частота, при которой

Эта частота будет равна частоте среза после выбора коэффициента усиления.

3. По амплитудной характеристике определяется модуль функции при частоте .

4. Коэффициент усиления необходимый для обеспечения заданного запаса по фазе, равен тогда модулю со знаком минус найденному в (3), т. е.

Рассмотренная последовательность определения коэффициента усиления, обеспечивающего заданный запас по фазе, часто используется для приближенного определения коэффициента усиления в плоскости усиление — фаза для заданной величины Эта задача рассматривается в приложении IV. Для случая, когда близка к резонансной частоте запас по фазе обычно выбирается равным

45°. Необходимо соблюдать некоторую осторожность при использовании критерия запаса по фазе, если имеется несколько частот, удовлетворяющих этому критерию. В этом случае следует пользоваться критерием Найквиста.

При помощи диаграммы Боде можно также исследовать последовательную коррекцию, для которой степень устойчивости оценивается запасом по фазе. Однако цель коррекции и методы выбора параметров передаточной функции последовательного корректирующего звена тождественны методам, рассмотренным в приложении IV. Поэтому мы не будем излагать их здесь.

Рассмотрим пример использования диаграммы Боде для простой системы с обратной связью. Передаточную функцию корректирующего звена положим равной коэффициенту усиления так что

Частотную характеристику заданных элементов определим формулой

Так как передаточная функция разомкнутой системы имеет в начале координат полюс первого порядка, то коэффициент усиления по скорости конечен и равен Запас по фазе положим равным 45°. Определим коэффициент усиления по скорости.

Диаграмма Боде функции изображена на рис. III.3-5. По фазовой характеристике определяем частоту среза из условия

или

Амплитуда, соответствующая этой частоте, равна

Рис. III.3-5. Диаграмма Боде: а) амплитудная характеристика; б) фазовая характеристика. (см. скан)

Таким образом, согласно коэффициент усиления для того чтобы обеспечить заданный запас по фазе, должен быть равен Следовательно, имеем