§ 4.2. Спектральная плотность; соотношения в линейных системах

Во временной области соотношения между корреляционными функциями в линейных системах, заданные уравнениями (4.1-7) и (4.1-10), содержат одну или более сверток с весовой функцией системы. При числовых расчетах большей частью неудобно пользоваться

соотношениями, содержащими свертку. В случае, когда весовая и корреляционная функции имеют преобразования Фурье, можно вывести соответствующую группу соотношений в частотной области. Эти соотношения в частотной области не содержат сверток, и поэтому их легче использовать в числовых расчетах. Для иллюстрации вывода соотношений в частотной области рассмотрим преобразование Фурье уравнения (4.1-7). Умножая обе стороны этого уравнения на и интегрируя по в бесконечном интервале, получим

По соображениям, которые станут яснее в конце параграфа, определим частотную функцию, соответствующую корреляционной функции, как преобразование Фурье корреляционной функции. В качестве частотной функции, соответствующей корреляционной функции на входе, введем

а в качестве частотной функции, соответствующей корреляционной функции на выходе, введем

Изменим порядок интегрирования в правой части (4.2-1) так, чтобы сначала производилось интегрирование по т. Сделав это и подобрав аргумент в экспоненте в соответствии с аргументом корреляционной функции, получим

Вспоминая, что передаточная функция системы является преобразованием Фурье функции веса и используя определения

{4.2-2) и (4.2-3), можем написать

что в частотной области соответствует уравнению (4.1-7).

Прежде чем пытаться интерпретировать уравнение (4.2-5), посмотрим, можно ли придать физический смысл частотной функции, соответствующей корреляционной функции. Рассмотрим частотную функцию, заданную уравнением (4.2-2). Так как она, по определению, является преобразованием Фурье корреляционной функции, деленным да то очевидно, что корреляционная функция получается из частотной функции применением обратного преобразования и умножением на . Таким образом, имеем

Так как интегрирование выполняется вдоль мнимой оси -плоскости, то в обратном преобразовании можно перейти к действительной частоте Сделав это, получим для корреляционной функции

Часто нас интересует значение среднего квадрата сигнала. Как известно, оно равно значению корреляционной функции при то есть средний квадрат сигнала равен

Частотная функция является действительной функцией частоты , так как корреляционная функция есть четная функция . Чтобы убедиться в этом, выразим показательную функцию в (4.2-2) через тригонометрические функции. Получим

Так как синус является нечетной, а корреляционная функция — четной функцией х, то подынтегральное выражение мнимой части нечетно по х, и интеграл по бесконечному интервалу равен нулю. Таким образом, частотная функция действительна. Уравнение (4.2-8) устанавливает, что площадь под кривой частотной функции в

бесконечном интервале частот равна значению среднего квадрата сигнала. Этот результат приложим к любым сигналам, несмотря на то, что он выведен для входного сигнала.

Тот факт, что площадь под кривой частотной функции равна значению среднего квадрата сигнала, подсказывает нам, что можно интерпретировать как линейную плотность распределения среднего квадрата сигнала по оси частот. Эта интерпретация может быть проверена с помощью линейной системы в виде очень узкополосного фильтра, который обладает частотной функцией, показанной на рис. 4.2-1. Для действительных частот уравнение (4.2-5) принимает вид

Известно, что действительная часть частотной характеристики любой физически реализуемой системы является четной, а мнимая часть нечетной функцией частоты.

Таким образом, является комплексно сопряженной с следовательно, их произведение равно квадрату модуля Тогда можно написать

Рис 4.2-1. Амплитудно-частотшя характеристика узкополосного фильтра

Сочетание результатов, содержащихся в уравнениях позволяет нам выразить значение среднего квадрата выходного сигнала через частотную функцию входного сигнала следующим образом:

Если мы приложим этот общий результат к частному случаю — узкополосному фильтру с характеристикой, показанной на рис. 4.2-1, то получим

Нуль в индексе частотной характеристики и корреляционной функции выхода указывает на то, что рассматривается частный случай узкополосного фильтра. Так как характеристика узкополосного фильтра в полосе пропускания имеет величину, равную единице, а вне

полосы пропускания — равную нулю (по предположению), то правая часть (4.2-13) упростится, и мы можем написать

В пределе, когда а становится малым, уравнение приобретает вид

Два члена в правой части этого уравнения равны друг другу, так как частотная функция четная. Запись среднего квадрата на выходе по составляющей с положительными частотами равноценна записи по составляющей с отрицательными частотами. Поэтому мы отнесем одну половину значения среднего квадрата на выходе к узкополосному фильтру с положительными частотами, а другую половину — к такому же фильтру — с отрицательными частотами. Тогда мы видим, что значение среднего квадрата на выходе очень узкополосного фильтра является просто значением частотной функции в полосе пропускания. В силу произвольности положения полосы на оси частот оказывается, что значение среднего квадрата на одной частоте при произвольной частоте со входного сигнала тождественно равно значению Если входной сигнал выражает колебания напряжения на сопротивлении в 1 ом, то значение среднего квадрата представляет среднюю мощность, рассеиваемую на этом сопротивлении. При этом условии частотная функция представляет собой функцию спектральной плотности мощности сигнала. В практике вошло в обычай называть любую частотную функцию, полученную преобразованием корреляционной функции и делением на функцией спектральной плотности мощности, хотя в действительности она является функцией спектральной плотности величины среднего квадрата. Некоторые авторы называют даже такие частотные функции спектрами мощности. Мы в этой книге будем называть функцию спектральной плотности величины среднего квадрата ради краткости просто спектральной плотностью, хотя это название неточно. Иногда, когда это не приведет к путанице, мы можем сократить это название до единственного слова «спектр». Часто в выкладках, включающих преобразования, мы будем пользоваться комплексной переменной 5. Частётную функцию, равную будем все же называть спектральной плотностью мощности, хотя понятие спектральной плотности величины среднего квадрата имеет смысл только вдоль мнимой оси.

Чтобы дополнить основные соотношения между спектральными плотностями мощности сигналов в линейных системах, мы должны рассмотреть взаимную спектральную плотность мощности входного

и выходного сигналов. Преобразуя обе стороны уравнения (4.1-10), получим выражение

где

Функция называется взаимной спектральной плотностью входного и выходного сигналов, хотя она и не связана непосредственно со спектральными плотностями средних квадратов каждого из сигналов. Уравнение (4.2-16) выражает соотношение между спектральными плотностями в линейной системе. Оно часто используется для определения передаточной функции по измерениям входного и выходного сигналов. Передаточная функция является отношением взаимной спектральной плотности ко входной спектральной плотности. Для определения передаточной функции в качестве входного сигнала иногда можно использовать встречающиеся в природе шумы или помехи. Однако если имеется нелинейность или если существуют заметные ошибки в определении спектральной плотности, то передаточная функция, определенная из (4.2-16), может оказаться физически не реализуемой. При этих условиях физически реализуемая передаточная функция, описывающая линейную систему, выход которой отличается от истинного выхода на возможно меньшую в среднеквадратичном смысле величину, может быть определена методом, приведенным в главе 5.