§ 3.6. Другой пример получения корреляционной функции

Во втором примере определения корреляционной функции из теоретических соображений, рассмотрим сигнал со случайно распределенными случайными точками. Второй пример существенно отличается от первого, в котором случайные точки располагались во времени периодически. Постановка задачи во втором примере следующая.

Дано. Прямоугольный сигнал со значениями или и нуль при пересечении оси времени в случайных точках, имеющих распределение Пуассона со средней частотой На рис. 3.6-1 показаны примеры сигнала Можно считать, что они взяты из ансамбля

Требуется найти. С учетом полученной информации (о сигнале) найти корреляционную функцию сигнала

Решение. Этот пример более удобно трактовать на основе определения корреляционной функции при помощи ансамбля. Из условий задачи известно, что рассматриваемый процесс является стационарным, так как в распределении Пуассона нет параметров, зависящих от времени. Следовательно, корреляционная функция не

будет зависеть от момента времени, при котором она вычисляется. В § 3.3 корреляционная функция определялась как среднее по ансамблю от произведения сигнала в момент на значение сигнала в момент . Для стационарного случая, согласно определению (3.3-1), имеем

Рис. 3.6-1. Примеры формы сигнала

Пусть рассматривается большое число А сигналов из ансамбля всех заданных сигналов. Пусть, далее, в данный момент времени больше нуля, как показано на рис. 3.6-1. Согласно этому рисунку, замечаем, что

где в — число случайных точек в интервале . Классифицируем сигналы по числу случайных точек, содержащихся в интервале . Пусть представляет число тех сигналов из А, которые содержат точек в интервале . Тогда среднее по ансамблю от произведения дается формулой

когда Но мы знаем, что

Поэтому среднее по ансамблю от произведения можно выразить так:

Используя уравнения (3.6-1) для корреляционной функции и (3.5-15) для распределения Пуассона, мы можем записать:

Так как бесконечный ряд в скобках суммируется и дает то имеем

В приведенных рассуждениях предполагалось, что х положительно. Для отрицательного х можно привести сходные рассуждения. Однако проще воспользоваться свойством четности корреляционной функции в стационарном случае (см. (3.3-9)). Тогда мы увидим непосредственно из соотношения (3.6-7), что для всех значений х корреляционная функция должна определяться так:

Отсюда замечаем, что корреляционная функция убывает при возрастании параметра сдвига т. При величине равной корреляционная функция становится несколько меньше своего максимального значения. Этим исчерпывается наш второй пример расчета корреляционной функции на основе теоретических соображений.