ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕНИЕ ТЕНДЕНЦИИ К НАСЫЩЕНИЮ В ЗАДАННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ СИСТЕМЫ

§ 7.1. Проблема насыщения

В предыдущих главах рассматривались случаи линейной математической модели системы. На примерах было показано, что в системах, рассчитанных в соответствии с аналитической теорией, амплитуда сигнала была достаточно велика и практически выходила за пределы области линейности отдельных звеньев системы. Для учета физических ограничений, связанных с насыщением, в §§ 2.6, 2.7 и 4.7 была рассмотрена возможность использования ограничений для поддержания амплитуды сигналов в пределах линейной области. Преимущество метода ограничения амплитуды сигнала проявляется особенно сильно, когда отдельные элементы системы линейны. Если заданные элементы системы являются минимально-фазовыми, то корректирующее звено полностью компенсирует влияние передаточной функции заданных элементов и позволяет получить другую передаточную функцию, необходимую для системы. Когда это имеет место и система должна реагировать на входной сигнал, содержащий широкую полосу частот, то сигналы на входе заданной части системы будут иметь высокочастотные составляющие. Так как физические устройства часто не могут быть линейными по отношению к высокочастотным сигналам, когда их амплитуда не очень мала, то в системе может иметь место насыщение. Таким образом, если даже коррекция и позволяет минимизировать какой-либо показатель качества системы в линейном приближении, то в реальной системе, из-за наличия нелинейности, этот минимум не будет иметь места. Следовательно, имеющаяся в реальных системах тенденция насыщения часто усиливается коррекцией, рассчитанной на основании линейной модели.

Возможны два способа решения задачи о насыщении в системах, на которые не накладывается никаких структурных ограничений. Первый способ предусматривает описание комбинации линейных и нелинейных элементов при помощи нелинейной математической модели,

и таким образом влияние нелинейности учитывается при анализе. Допускается, что система имеет насыщение, и влияние его на показатель качества исследуется при помощи нелинейных методов. Для этого случая еще не развит общий аналитический метод минимизации показателя качества, и поэтому для расчета можно использовать лишь метод проб.

Второй способ заключается в замене элемента с насыщением линейным элементом. Последний представляет свойства элемента с насыщением в линейной зоне так, чтобы сигнал на выходе этого линейного элемента совпадал в линейной области с насыщенным сигналом нелинейного элемента. От линейного корректирующего звена, которое необходимо рассчитать, требуется, чтобы оно обеспечивало минимум показателя качества при условии, что вероятность выхода насыщенного сигнала за пределы линейной области мала. При этом элемент с насыщением большую часть времени будет вести себя как линейный.

Степень несовершенства линейной модели, используемой в расчете, определяется отрезком времени, на протяжении которого насыщенный сигнал выходит за пределы линейной области работы. Законность применения линейной модели может быть увеличена при уменьшении вероятности насыщения. Второй способ учета насыщения будет рассмотрен в этой главе. Учет насыщения при помощи ограничений амплитуды насыщенного сигнала был предложен Ньютоном (см. [35]). В нашем случае рассматриваемые сигналы являются случайными, и ограничение амплитуды насыщенного сигнала сводится к ограничению среднего квадратичного значения (с.к.з.) амплитуды насыщенного сигнала величиной, составляющей определенную часть линейной области элемента с насыщением.

Будут рассмотрены системы с некоторыми ограничениями на структуру, при этом для учета ограничений, связанных с насыщенным сигналом, используется метод множителей Лагранжа (§ 2.6).

Общую задачу коррекции для систем с ограничениями на структуру при наличии насыщения можно поставить следующим образом.

Дано. Информация о статистических свойствах входного и желаемого выходного сигналов, характеристики заданных элементов и максимальная допустимая величина среднего квадратичного значения насыщенного сигнала.

Необходимо определить. Характеристики корректирующего звена, обеспечивающего минимальное значение средней квадратичной ошибки при ограничении с.к.з. насыщенного сигнала. При этом с.к.з. должно быть меньше максимального допустимого значения или равно ему.

Поставленная задача иллюстрируется рис. 7.1-1, где функция является весовой (импульсной переходной) функцией, связывающей входной сигнал заданной части системы с насыщенным сигналом

Рис. 7.1-1. Компенсация в системе с частичными ограничениями структуры при наличии насыщения.

Используя обозначения рис. 7.1-1, задачу можно поставить следующим образом.

Дано:

Необходимо определить из условия минимума при где является максимальным допустимым с.к.з.