§ 6.5. Метод расчета при неустойчивых заданных элементах

Метод расчета для случая неустойчивых элементов кратко рассматривался в § 1.7. В этом параграфе мы еще раз рассмотрим упомянутый способ вычислений и проиллюстрируем его примером.

Метод решения задачи при неустойчивых заданных элементах почти очевиден, если известен источник неустойчивости. Заданная часть системы может быть неустойчивой только при наличии в ней положительной обратной связи, охватывающей один или несколько активных элементов. Способ расчета для случая неустойчивой заданной части состоит в таком ее изменении, чтобы она становилась устойчивой. Вообще говоря, несущественно, как изменять заданные элементы системы, важно лишь, чтобы они были устойчивыми и не были в большей степени немннимально-фазовыми, чем первоначально. Обычный путь стабилизации первоначально неустойчивых заданных элементов состоит в следующем:

1) уменьшение коэффициента усиления в одной или нескольких внутренних петлях обратной связи;

2) включение корректирующих цепей в одной или нескольких внутренних петлях обратной связи;

3) охват нескольких или всех неустойчивых элементов дополнительной отрицательной обратной связью.

Как только заданные элементы стабилизированы, расчет можно проводить в терминах эквивалентной последовательной коррекции. После того, как эквивалентная последовательная коррекция определена и получена передаточная функция всей системы, может оказаться желательным для упрощения системы изменить схему вспомогательных обратных связей. Часто оказывается возможным полностью исключить вспомогательные внутренние обратные связи в заданных элементах за счет подбора обратной связи в основной петле. Таким образом, очевидно, основной целью первоначальной стабилизации заданных элементов (по крайней мере в этой книге) является

упрощение расчета за счет использования эквивалентной последовательной коррекции. После того, как расчет дополнен схемой обратной связи, необходимость в устойчивых заданных элементах часто можно исключить за счет выбора коррекции в основной петле. Наличие неустойчивых элементов в условиях задачи не влечет ни в каком случае дополнительных ограничений качества системы. Для иллюстрации упомянутой выше идеи учета неустойчивого заданного элемента рассмотрим еще раз пример предыдущего параграфа. Пусть все данные предыдущего примера останутся неизменными, за исключением данных, относящихся к неизменной части системы.

Рис. 6.5-1. Неустойчивые заданные элементы.

Вместо чистого запаздывания со временем Г, предположим, что заданный элемент состоит из двух последовательно включенных звеньев, изображенных на рис. 6.5-1. Тогда передаточная функция, соответствующая новым заданным элементам системы, будет иметь вид

где знак и означает, что элементы неустойчивы Эта передаточная функция неустойчивого элемента характеризуется наличием полюса в правой полуплоскости. Физически, передаточной функции звена, предшествующего чистому запаздыванию на рис. 6.5-1, может соответствовать цепь, состоящая из фильтра низкой частоты, охваченного жесткой положительной обратной связью.

Заданную часть можно стабилизировать, если охватить первое звено отрицательной обратной связью. На рис. 6.5-2 показан такой контур. Выбирая коэффициент усиления в цепи обратной связи равным 1/2, получим устойчивую заданную часть системы, показанную на рис. 6.5-3. За счет отрицательной обратной связи передаточная функция (6.5-1) заданной части системы изменяется и принимает вид

Здесь индекс означает, что элемент устойчив. Основное действие отрицательной обратной связи заключается в перемещении полюса

из правой полуплоскости в левую полуплоскость. Отрицательная обратная связь изменяет также коэффициент усиления заданной части системы при нулевой частоте. Однако это имеет второстепенное значение.

После того как неустойчивая часть системы стала устойчивой, расчет системы можно производить точно так же, как это делалось ранее.

Рис. 6.5-2. Внутренняя обратная связь для стабилизации заданных элементов.

Новая заданная часть системы, представленная на рис. 6.5-2, является минимально-фазовой, если не считать запаздывания, рассмотренного в предыдущем примере, где заданная часть системы была элементом чистого запаздывания. Поэтому передаточная функция последовательного корректирующего звена, обеспечивающего минимум интегральной квадратичной ошибки, определяется умножением передаточной функции коррекции, соответствующей чистому запаздыванию, на функцию, обратную передаточной функции минимальнофазовой части нового заданного элемента системы. Этот способ вычисления следует из результатов § 6.3.

Рис. 6.5-3. Схема устойчивой заданной части системы.

Там отмечалось, что если заданная часть системы является минимально-фазовой, то она не влияет на передаточную функцию всей системы. Это означает, что минимально-фазовый множитель в передаточной функции заданной части системы можно отбросить при определении передаточной функции коррекции, если найденная передаточная функция корректирующего звена будет умножена на величину, обратную отброшенному множителю. Этот множитель, очевидно, можно найти до определения передаточной функции корректирующего звена в цепи обратной связи.

Используя эти замечания, найдем передаточную функцию корректирующего звена для устойчивой заданной части (6.5-2):

Если используется корректирующее звено (6.5-3), то значение интегральной квадратичной ошибки получается таким же, как в случае примера § 6.4, и сигналы в различных точках системы имеют такой же вид, как на рис. 6.4-1. Иначе говоря, при таком выборе корректирующего звена неустойчивость заданных элементов системы не изменяет свойств всей системы в целом.