§ 2.7. Примеры учета ограничений

Для иллюстрации нормировки и метода Лагранжа рассмотрим пример из § 2.3. В этом примере необходимо выбрать величину коэффициента усиления по скорости для следящей системы из условия минимума интегральной квадратичной ошибки. Сервомотор характеризуется простой передаточной функцией с постоянной времени (см. (2.3-6)). Входной сигнал является единичной функцией с амплитудой желаемый сигнал на выходе также равен единичной функции. Исследуем эффект ограничения интегрального квадратичного значения ускорения на выходе при определении минимальной величины интегральной квадратичной ошибки.

Ускорение выходной величины обозначим через Индекс ставится для сигнала в системе с насыщением. Следовательно, для этой задачи имеем

Используем символ для обозначения интегрального квадратичного значения функции а именно

Тогда на основании теоремы Парсеваля после нормировки получим

где — нормирующий множитель. Формула (2.7-1) для изображения запишется в виде

Так как изображение выходного сигнала равно изображению входного сигнала, умноженному на передаточную функцию, то (2.7-4) можно записать в виде

Если применить правило нормировки (§ 2.5), то получим

где

Записав (2.3-10) в нормированном виде, получим для

где

Нормировка изображения входного сигнала, согласно (2.3-11), дает

Подстановка в уравнение (2.7-6) функций определенных согласно формулам (2.7-8) и (2.7-10), дает

Следовательно, интегральное квадратичное значение ускорения определяется формулой

где

После вычисления интеграла при помощи формулы для в таблице интегралов в приложении V получаем

Если воспользоваться ненормированным коэффициентом усиления, т. е. коэффициентом усиления по скорости получим

Это выражение определяет интегральное квадратичное значение, ускорения на выходе как функцию параметров системы.

В § 2.3 была определена величина интегральной квадратичной ошибки как функция параметров системы. Она имеет вид

Теперь можно минимизировать интегральную квадратичную ошибку при условии, что интегральное квадратичное значение ускорения на выходе не должно превышать заданной величины Это условие запишется в виде

Интегральное квадратичное значение ускорения является монотонно возрастающей функцией коэффициента усиления по скорости. Величина интегральной квадратичной ошибки — монотонно убывающая функция того же параметра. Если двигателя постоянна, то это означает, что коэффициент усиления по скорости следует увеличивать до тех пор, пока интегральная квадратичная величина ускорения удовлетворяет условию (2.7-17). Таким образом, минимальное значение интегральной квадратичной ошибки определяется допустимым пределом интегральной квадратичной величины ускорения.

Если использовать в (2.7-17) знак равенства, то, подставляя из (2.7-16) интегральное квадратичное значение ускорения, получим уравнение, которое можно решить относительно коэффициента усиления по скорости. Это решение имеет вид

Подставляя это выражение в (2.3-18), получим

что является функцией постоянной времени двигателя и предельного значения интегральной квадратичной величины ускорения сигнала на выходе. Из рис. 2.7-1 видно, как величина интегральной квадратичной ошибки возрастает с убыванием интегральной квадратичной величины ускорения. Кривая Л вычерчена для постоянной времени двигателя, равной 0,1 сек, а кривая В — для 0,01 сек. Обе кривые стремятся к пределу при возрастании интегрального квадратичного значения ускорения. Так как в этом примере имеется всего один свободный параметр, то введение ограничения по ускорению устраняет всякую свободу выбора параметра. Поэтому предположим, что конструктор может произвольно выбирать постоянную времени двигателя. В практических задачах конструктор ограничен в выборе постоянной времени двигателя. Обычно он должен взять ее больше некоторой минимальной величины.

Рис. 2.7-1. Интегральная квадратичная ошибка в зависимости от ограничения на интегральную квадратичную величину ускорения выходного сигнала.

При двух произвольно выбираемых параметрах мы можем теперь проиллюстрировать метод Лагранжа для минимизации функции, подчиненной дополнительным ограничениям. Применяя метод Лагранжа, можно минимизировать интегральную квадратичную ошибку при условии

где — заданная величина. После того как будут найдены значения параметров, при которых интегральная квадратичная ошибка

достигает минимума как функции можно подчинить выбор условию (2.7-17). Так как интегральная квадратичная ошибка является функцией этой постоянной, то можно определить минимальное значение ошибки, допускаемое условием (2.7-17).

Используя метод Лагранжа, будем минимизировать функцию

действуя при этом так, как будто не существует постоянной. Здесь является неопределенным множителем Лагранжа. Вычисляя частные производные этой функции по и получим

Приравнивая частные производные нулю, получаем два уравнения относительно искомых параметров:

После решения этих уравнений имеем

Используя эти равенства совместно с (2.7-16) и (2.7-20), получаем

откуда

На основании (2.7-29) формулы (2.7-26) и (2.7-27) можно записать в виде

и

После подстановки этих величин в (2.3-18) получаем выражение для интегральной квадратичной ошибки

Попутно отметим, что метод Лагранжа едва ли необходим для этой задачи, так как (2.7-16) можно легко разрешить относительно любого из двух параметров. Решая это уравнение относительно и заменяя согласно (2.7-20), будем иметь

Подставляя эту величину в выражение для интегральной квадратичной ошибки, получаем как функцию коэффициента усиления по скорости

Дифференцируя, имеем

Приравнивая эту производную нулю и решая полученное уравнение относительно получаем (2.7-30). Подставляя полученное значение в (2.7-34), снова получим (2.7-32).

Интегральная квадратичная ошибка, определяемая формулой (2.7-32), является монотонно убывающей функцией связанной со средней квадратичной величиной ускорения. Следовательно, наименьшее значение интегральной квадратичной ошибки можно получить, если подставить в (2.7-32) предельное значение Таким образом, имеем

Это является выражением для минимальной интегральной квадратичной ошибки как функции предельного значения определяемого величиной интегрального квадратичного ускорения выходного сигнала, когда свободно выбираемыми параметрами являются постоянная времени двигателя и коэффициент усиления по скорости. На кривой С рис. 2.7-1 показано изменение интегральной квадратичной ошибки в функции Отметим, что эта кривая лежит всегда ниже и касается кривых, соответствующих фиксированной постоянной времени двигателя. Это соответствует интуитивным представлениям о том, что чем большее число параметров можно выбирать, тем меньшее

значение должна иметь минимальная интегральная квадратичная ошибка. Можно наметить путь улучшения системы за счет увеличения числа степеней свободы, воспользовавшись для этого коэффициентом демпфирования.

Для оптимальных значений параметров и коэффициент демпфирования и собственная частота системы второго порядка, согласно формулам (2.3-19) и (2.3-20), оказываются равными

Коэффициент демпфирования остается в этом случае постоянным, в то время как ранее, когда постоянная времени была задана, он убывал с увеличением коэффициента усиления.

Вспомогательная цель ограничения интегрального квадратичного значения ускорения состоит в том, чтобы ограничивать косвенно пиковое значение ускорения. Так как система второго порядка достаточно проста, то можно очень легко выразить пиковое значение ускорения в функции регулируемых параметров. Таким образом, можно минимизировать интегральную квадратичную ошибку при ограничении пикового значения ускорения, которое мы обозначим буквой Пиковое значение имеет место в начальный момент, и легко показать, что оно равно

Решая это относительно имеем

Подставляя в выражение для интегральной квадратичной ошибки, получаем

Дифференцируя по имеем

Приравнивая эту производную нулю и решая уравнение

относительно получим

Постоянная времени двигателя при этом становится равной

и, следовательно, интегральная квадратичная ошибка равна

Для этого случая коэффициент демпфирования и собственная частота принимают вид

Отметим, что когда в качестве ограничения используется пиковое, а не интегральное квадратичное значение ускорения, то коэффициент демпфирования получается несколько меньшим.

В заключение этого примера ответим на следующий вопрос. Каково отклонение интегральной квадратичной ошибки от оптимальной величины при ограничении интегрального квадратичного значения ускорения вместо пикового значения? Пиковое значение ускорения для неоптимального выбора параметров определяется формулой

Оно получается при подстановке в (2.7-39) значений параметров, определяемых формулами (2.7-30) и (2.7-31) при После исключения из (2.6-36) и (2.6-48) получаем

Последняя формула дает значение интегральной квадратичной ошибки как функции пикового значения ускорения. При этом параметры выбраны из условия ограничения интегрального квадратичного значения ускорения. Сравнение (2.7-45) и (2.7-49) показывает, что интегральная квадратичная ошибка увеличивается приблизительно на 6 процентов по сравнению со случаем, когда используется непосредственно пиковое значение ускорения в качестве ограничения. Этот результат подтверждает возможность использования величины интегрального квадратичного ускорения в качестве ограничения, когда это необходимо вместо пикового значения ускорения.