§ 4.7. Введение дополнительных условий. Пример

В этом параграфе мы обсудим дополнительные условия для выяснения физических ограничений, которые вносят заданные элементы системы регулирования. В § 2.6 была показана целесообразность ограничения величины интеграла от квадрата некоторого сигнала. В нашей линейной модели сигналы заданных элементов с передаточной функцией всегда так ограничены по амплитуде, чтобы не нарушалась корректность самого линейного представления. Если бы при минимизации интеграла от квадрата ошибки или среднего квадрата ошибки мы всегда могли быть уверены в воздействии сигнала на заданные элементы только в линейной области, то проектирование, основанное на принципе минимизации, имело бы ббльшую надежность. Как показано в § 2.7, мы могли бы ограничивать пиковые значения сигналов на входе заданной части системы так, чтобы они по расчету не выходили за пределы линейной области. Однако при произвольно меняющемся входном сигнале выделение пикового значения предполагает знание общего решения в переходном режиме; но это решение невозможно получить для систем, порядок которых выше второго. Это препятствие заставляет нас подойти к задаче с другой стороны, а именно ограничить величину интеграла от квадрата соответствующего сигнала так, чтобы в системе не происходило насыщения. Интуитивно мы чувствуем, что для широкого класса входных сигналов ограничение интеграла от квадрата сигнала в значительной мере равносильно ограничению пикового значения этого сигнала.

Для стохастических входных сигналов положение сходно с положением для регулярных входных сигналов — ограничение пикового значения сигнала на входе заданной части системы невозможно. Это происходит как из-за невозможности найти общее решение в переходном режиме, так и из-за статистической природы сигнала. Часто бывает, что ограниченного пикового значения сигнала в линейной модели системы не существует. Однако за счет ограничения среднеквадратичного значения сигнала, который в линейной модели соответствует сигналу в реальной системе с очень большим насыщением, можно в известной мере ограничивать вероятность насыщения. Например, если при конструировании системы регулирования используется линеаризованная модель и среднеквадратичное значение сигнала ограничено

приблизительно одной третью от величины насыщения аналогичного сигнала в реальной системе, то часто оказывается, что вероятность насыщения при таком сигнале лежит в допустимых пределах. Таким образом, с целью избежать трудностей, вызванных насыщением, мы вполне естественно пришли к идее ограничения среднеквадратичного значения или среднего квадрата некоторого сигнала, действующего на заданные элементы системы регулирования. Обсуждение физических оснований такого подхода проведено далее в §§ 7.1 и 7.2.

Минимизация среднего квадрата ошибки подбором одного или нескольких параметров аналогична процедуре минимизации интеграла от квадрата ошибки, развитой в § 2.6; процедура минимизации среднеквадратичных значений одного или нескольких сигналов при дополнительных условиях подчинена еще требованиям, наложенным на значения интегралов от квадратов одного или нескольких сигналов. Выразим сначала средний квадрат ошибки в функции произвольных параметров, применяя приемы, описанные в предыдущих параграфах. Выразим, далее, значение среднего квадрата сигнала, которое должно быть ограниченной функцией тех же произвольных параметров, применяя приемы, использованные при выводе формулы среднего квадрата ошибки. Полагая каждое из значений средних квадратов равным или меньшим выбранного предельного значения, ограничиваем области значений, в которых могут находиться произвольные параметры.

Теоретически число ограничений равно числу предельных значений интегралов от квадратов сигналов, действующих на фиксированные элементы. Практически же оказывается, что существенными являются только одно или два неравенства, а остальные удовлетворяются автоматически. Так как указанные функции являются обычно довольно сложными, то исключить некоторое число параметров, равное числу несущественных неравенств, и минимизировать средний квадрат ошибки по оставшимся параметрам, как правило, невозможно. Как объяснялось в § 2.6, в преодолении этой трудности может быть полезен метод Лагранжа. В большинстве практических случаев каждая функция от одного выбранного параметра при фиксированных других параметрах наносится на диаграмму. Проделав это при других фиксированных параметрах нужное число раз, также можно найти постепенно комбинацию значений параметров, которая минимизирует средний квадрат ошибки и удовлетворяет неравенствам. Очевидно, что этот процесс становится чрезвычайно сложным при числе произвольных параметров больше двух или трех. Иногда можно заменить действительные функции более простыми функциями, которые являются достаточно точным приближением в интересующей нас области; это позволяет существенно сократить время нахождения решения.

Чтобы проиллюстрировать описанные выше общие понятия, рассмотрим пример, обсуждавшийся в § 4.5. Следует напомнить, что в данном случае минимизация среднего квадрата ошибки путем подбора коэффициента усиления приводит к большим коэффициентам усиления и высокой колебательности в переходном режиме. Ввиду того, что рассматриваемый сервомеханизм по конструкции является позиционным, колебательная реакция ведет к большим ускорениям выходной величины. В некоторых позиционных сервомеханизмах основной момент вращения расходуется на инерционную нагрузку. Поэтому естественно ограничить пиковое значение ускорения нагрузки посредством ограничения момента вращения, который должен подводиться к сервомотору. Так как трудно ограничить пиковое значение ускорения непосредственно, мы попытаемся сделать это косвенно, налагая ограничение на средний квадрат ускорения. Пусть ускорение выходной величины будет так что

Потребуем, чтобы средний квадрат ускорения поддерживался равным или меньшим постоянной величины то есть

Обозначив через корреляционную функцию сигнала

замечаем, что средний квадрат ускорения равен значению этой корреляционной функции при Оценим этот средний квадрат по площади под кривой спектральной плотности ускорения вдоль мнимой оси. Так как в частотной области ускорение связано с выходом соотношением

то спектральная плотность ускорения связана со спектральной плотностью выхода следующим образом:

Спектр выхода в свою очередь связан со спектром входного сигнала известным соотношением

Чтобы продемонстрировать процедуру нормировки, обсуждавшуюся в предыдущем параграфе, нормируем передаточные функции и спектры. Используя в качестве основы постоянную времени мотора зададим значение среднего квадрата ускорения:

Вследствие уравнений (4.7-5) и (4.7-6) нормированный спектр ускорения будет

Заметим, что, согласно (4.5-8),

Применив процедуру нормировки к спектру, заданному уравнением (4.5-10), получим

Величины и К определены соответственно в (4.5-15) и (4.5-16). Подставляя выражения передаточной функции и спектральной плотности из двух последних уравнений в (4.7-8), находим

где

Интегрируя выражение спектральной плотности ускорения (4.7-11) при помощи таблицы интегралов, приведенной в приложении V, получаем значение среднего квадрата ускорения в зависимости от произвольного параметра К:

Выясним теперь природу этой функциональной зависимости. Для малых значений нормированной частоты входного сигнала скажем, меньших 0,1, выражение в скобках равно примерно единице при любых и К (наибольшая ошибка, которая имеет место в этом

приближении при составляет около Мы можем, следовательно, аппроксимировать средний квадрат ускорения весьма просто. Извлекая корень квадратный, имеем для среднеквадратичного значения ускорения следующее приближенное выражение:

Поскольку в § 4.5 было показано, что позиционный сервомеханизм бесполезен на практике, за исключением случая малого то это приближенное выражение охватывает все интересные случаи. Оно устанавливает, что среднеквадратичное значение ускорения пропорционально нормированному коэффициенту усиления и нормированной частоте входного сигнала. Ввиду того, что среднеквадратичное значение ускорения является непрерывно возрастающей функцией коэффициента усиления, а среднеквадратичная ошибка, как показано в § непрерывно убывающая функция коэффициента усиления, для нахождения минимума среднеквадратичной ошибки (при допустимом среднеквадратичном значении ускорения) следует решить уравнение относительно коэффициента усиления, соответствующего предельному среднеквадратичному значению ускорения и подставить это значение коэффициента усиления в

Обращаясь к рис. и принимая во внимание можно сделать основной вывод, что применение коэффициента усиления больше единицы действительно неразумно ввиду большого проигрыша в среднеквадратичном значении ускорения и малого выигрыша в среднеквадратичной ошибке. Кривые рис. 4.5-1 при изменении масштаба по оси абсцисс можно рассматривать как кривые, связывающие среднеквадратичную ошибку со среднеквадратичным значением ускорения на выходе. Это следует из того, что среднеквадратичное значение ускорения пропорционально коэффициенту усиления. Таким образом, изменение среднеквадратичного значения ускорения от бесконечности до приводит к увеличению среднеквадратичной ошибки, только на При постоянной времени мотора 0,01 сек, средней частоте входного сигнала 0,1 рад/сек и амплитуде 3,16 рад находим, что при уменьшении среднеквадратичного значения ускорения от бесконечности до 1410 рад/секг среднеквадратичная ошибка возрастает от 0,141 до 0,200 рад.